A differenciál- és integrálszámítás elemei I. (töredék)

Szerző

Szász Pál

Szerkesztő

Fejér Lipót

Budapest

'Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei I. (töredék) ' összes példány

Kiadó:	Közoktatásügyi Kiadóvállalat
Kiadás helye:	Budapest
Kiadás éve:	1951
Kötés típusa:	Fűzött keménykötés
Oldalszám:	703 oldal
Sorozatcím:
Kötetszám:
Nyelv:	Magyar
Méret:	24 cm x 17 cm
ISBN:
Megjegyzés:	Számos ábrával illusztrálva. Töredék kötet.

Értesítőt kérek a kiadóról

A beállítást mentettük,
naponta értesítjük a beérkező friss
kiadványokról

Tartalom

I. KÖTET
A valós számok. Egy- és többváltozós függvény
A pozitív valós számok, mint végtelen tizedestörtek
Végtelen tizedestört; pozitív valós szám	1
A nagyobb és kisebb fogalma pozitív számokra	5
Számhalmaz felső határa	7
Pozitív számok összege és szorzata	9
Az egyenlőtlenségre vonatkozó műveleti szabályok	12
A kommutatív, asszociatív és disztributív törvény	13
Pozitív számok kivonása és osztása	14
Számhalmaz alsó határa	16
Pozitív szám n-edik gyöke	17
Egyenesdarabok mérése	19
Áttérés a valós számok összességére
Két pozitív szám, mint kisebbítendő és kivonanadó, meghatároz egy valós számot	23
A nagyobb és kisebb, az összeg és szorzat fogalma valós számokra. Műveleti szabályok	23
Valós számok kivonása és osztása	25
Az abszolút érték	25
A számegyenes	26
Az egyszerű számtani, harmonikus és geometriai közép
A számtani és harmonikus közép	28
A geometriai középre vonatkozó egyenlőtlenség	28
Példák	30
A kör kerülete és területe
A kör kerülete mint a beírt sokszögek kerületének felső határa	32
Körív ívhosszúsága	34
Szög abszolút mérőszáma	36
Kör és körszektor területe	36
Az elipszis területe	38
Az összeg, szorzat és hányados folytonossága. Számhalmaz felső és alsó határa
Az összeg és szorzat folytonossága	39
A hányados folytonossága	41
Számhalmaz felső és alsó határa	42
Monoton sorozatok
A függvény általános definíciója
Dirichlet-definíciója. A függvény ábrázolása. Páros és páratlan függvény. Monoton függvény	63
Példák függvény-értelmezésre	64
Racionális egész- és törtfüggvény	67
Függvény határértéke
Határérték a végtelenben. Racionális függvény határértéke a + végtelen helyeken	69
Határérték a végesben	72
Jobb- és baloldali határérték	74
Minden számsorozatból kiválaszthatunk egy monoton rész-sorozatot	76
A véges határérték létezésének kritériuma	77
Függvény folytonossága
A folytonosság definíciója. Összeg, szorzat és hányados folytonossága. Első és másodfajú szakadás	78
Példa minden racionális helyen megszüntethető szakadású függvényre	79
Közvetett függvény folytonossága	80
A folytonos függvények alaptulajdonságai
Valós együtthatós páratlanfokú egyenlet	82
Az egyenletes folytonosság tétele	85
Számsorozat határértéke
Véges és végtelen határérték	87
Folyományok. Összeg, szorzat és hányados határértéke. Leibniz tétele	88
Véges határértékű szorzat származtatása monoton sorozatokból	90
A függvény-határérték fogalmának visszavezetése számsorozat határértékére	94
Számsorozat felső és alsó határértéke	96
Értékrendszerek tartományai
N-elemű értékrendszerek. Korlátos pontsorozatból mindig kiválaszthatunk egy konvergens rész-sorozatot	98
Tartomány; belső, külső és határpont. Korlátos tartomány átmérője. Torlódási hely	101
Közös ponttal nem biró korlátos és zárt tartományok minimális távolsága	103
Egy segédtétel. Nyílt és összefüggő tartomány két pontjának összeköthetése poligonnal	103
Borel befödési tétele	104
Többváltozós függvény. Határértéke és folytonossága
Többváltozós függvény	105
Függvény határértéke	106
Folytonosság. Bolzano tétele	108
Weierstrass tétele	109
Egyenletes folytonosság	110
Differenciálhányados, határozott és határozatlan integrál
Differenciálhányados
Differenciálható függvény folytonossága	114
Jobb- és baloldali differenciálhányados. Végtelen differenciálhányados	115
A differenciálás formális törvényei	116
Szorzat és hányados differenciálási szabálya; determináns differenciálása	117
Közvetett függvény differenciálási szabálya	119
Stieltjes tétele a különbségi hányadosra vonatkozólag	120
A differenciálhányados geometriai jelentése
Az érintő és a normális egyenlete	127
A cisszois érintőjének szerkesztése	129
Magasabbrendű differenciálhányadosok
Magasabbrendű deriváltak szkcesszív képezése	131
A Taylor-formula racionális egész függvényre	132
A Leibniz-féle differenciálási szabály	134
Racionális egész függvény gyökeinek multiplicitása
m-szeres gyök: folyományok	134
Bizonyos számú helyen váltakozó előjelű polinom fokszáma	136
Bolzano tétele racionális egész függvény esetében	137
Rolle tétele racionális egész függvényre vonatkozólag	138
Alkalmazás	139
A lokális és a monoton növekedés tétele
A lokális növekedés tétele. A derivált eltűnése belső extremális helyen	140
Példa lokálisan növekedő, de nem monoton növekedő differenciálható függvényre	141
A monoton növekedés tétele	141
Ellipszis normálisának a középponttól való maximális távolsága	142
A növekmények összehasonlításának elve. Az integrálszámítás alaptétele	144
Konvexitás és konkávitás
A Jensen-féle egyenlőtlenség. Hatványközép	149
A konvexitás szükséges és elegendő feltétele differenciálható függvénynél	152
Lokális szélsőérték. Inflexiós pont
Lokális konvexitás	155
Lokális maximum és minimum	156
Inflexiós pont	157
A derivált alaptulajdonságai. Az általános Taylor-formula
Darboux-tétele. A deriváltnak zárt számközben nem kell korlátosnak lennie	159
Rolle tétele: általánosítás	160
Függvények diszkussziója	162
A Lagrange- és a Cauchy-féle középértéktétel	164
Parameteres előállítású függvény differencidálási szabálya	166
A Taylor-formula általános maradéktagja; speciális esetek	167
n-szeres zérus-hely	170
Görbék érintkezése. Simuló kör
n-edrendű érintkezés. A görbe és az érintő érintkezése	172
Simuló kör. Ennek középpontja, mint két normális metszéspontjának határhelyzete	175
A parabola simuló köre. A simuló kör sugara szélsőértékének esete	178
A simuló kör középpontja, mint a görbe három pontján átmenő kör középpontjának határhelyzete	179
Parciális differenciálhányados
A differenciálások sorrendjének felcserélhetősége	182
Schwarz tétele	183
Többváltozós lokális szélsőérték
Többváltozós lokális szélsőérték. Peano ellenpéldája	185
Példa abszolút szélsőértékre	187
Kétváltozós másodfokú racionális egész függvény maximuma, resp. minimuma	188
Példa	190
Riemann szerint integrálható korlátos függvény
Alsó- és felsőösszegek. Riemann-szerinti integrálhatóság. Az integrál mint határérték	191
Az integrálhatóság kritériuma	197
Monoton függvény integrálhatósága	198
Az integrandus megváltoztatása véges számú helyen	199
Integrálható függvénynek az abszolút értéke is integrálható	200
Folytonos függvény integrálhatósága. Általánosítás véges számú szakadási hely esetére	200
Példa mindenütt sűrű helyeken diszkontinus integrálható függvényre	201
Integrálható függvény folytonossági helyei mindenütt sűrűn töltik ki az intervallumot	202
Az integrál formális tulajdonságai; kiszámítása, midőn az integrandus valamely függvény derifáltja. Példák	203
Korlátos variációjú függvény
A korlátos variációjú függvény két definíciója: integrálhatósága. Jordan-féle variáció	206
Korlátos variációjú függvény két monoton növekedő függvény különbsége	210
Korlátos variációjú függvények szorzata és hányadosa	211
Szorzat és hányados integrálhatósága
Szorzat és hányados integrálhatósága	212
A Cauchy-féle egyenlőtlenség	213
A Schwarz-féle egyenlőtlenség	214
Az integrálszámítás első és második középértéktétele
Az integrálok összehasonlításának elve	215
Az első középértéktétel; integrálközép	217
Az integrál, mint a felső határ függvénye	219
Az Abel-féle egyenlőtlenség	221
A második középértéktétel	222
Határozatlan integrál
Folytonos függvénynek van primitív függvénye. Formális törvények. Elsőrendű quadratura	224
Parciális integrálás. Példák	229
Integrálás helyettesítéssel. Példák	229
Szétválasztott változójú elsőrendű differenciálegyenlet	232
Ortogonális trajektoriák	235
A parciális integrálás általános formulája. A Taylor-formula integrál-maradéktagja	237
n-edrendű quadratura	239
A Jordan-féle területfogalom
Korlátos tartomány belső és külső területe	240
A belső és a külső területre vonatkozó egyenlőtlenségek	243
Mérhető területű tartományok	245
Zérus területű tartomány: a mérhető területűség feltétele. Folyományok	246
Jordan tétele	249
Példa nem mérhető területű korlátos tartományra	251
Jordan-féle köbtartalom. Forgási test köbtartalma: példák	252
Gömbcikk köbtartalma	255
Elemi függvények
A logaritmus és az exponenciális függvény
A természetes logaritmus, mint integrál	257
Az Euler-féle állandó	261
M modulusú logaritmus: görbéjének szerkesztése	263
A hatvány, mint az alap függvénye	276
Trigonometrikus és ciklometrikus függvények
Trigonometrikus összegképletek	310
Logaritmikus derivált. Zárt analitikai kifejezések differenciálása
Logaritmikus derivált. Waring tétele	313
Zárt analitikai kifejezések differenciálása. Kidolgozatlan példák	315
A L'Hospital-szabály
A L'Hospital szabály végesben fekvő helyen	318
Harmadfokú racionális egész függvény
A harmadfokú racionális egész függvény diszkussziója	326
Harmadfokú egyenlet	328
Példa	333
Maximum-minimum feladatok
Adott hosszúságú körív és a húrja közti maximális terület	334
Néhány függvény diszkussziója
Kidolgozatlan példák	344
Aszimptota
Az aszimptota létezésének feltétele. Példák	355
Konvex, resp. konkáv görbe aszimptotája	358
Példa	360
Parameteres és polárkoordinátás előállítású görbék
Parameteres előállítású görbe érintője: símuló körének sugara	362
A cyclois-görbe	364
Polárkoordinátás egyenletű görbék. Spirálisok	366
A lemniszkáta	370
Cassini-féle görbék	372
Hiperbolás függvények
A Cauchy-féle függvényegyenletek
Az integrálszámítás egyes részei
Alapintegrálok
Alapintegrálok. Integrálás megfelelő felbontással	393
Néhány integrál kiszámítása
Kidolgozatlan példák	410
Területszámítások
Területszámítás parameteres előállítású görbéknél	412
Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet
Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet összes megoldásai	418
Improprius integrálok
Az improprius integrálok három fő típusa	425
Racionális törtfüggvények integrálása	445
Racionális függvény integráljára visszavezethető integrálok	458
Rektifikálható folytonos görbék a síkban
Folytonos vonaldarab	469
Rektifikálhatóság. Az ívhossz additiv és folytonosan változik	471
Az ívhosszúság a beírt poligon hosszának határértéke	473
A rektifikálhatóság szükséges és elegendő feltétele	474
A parabola rektifikációja	478
A logaritmikus integrállal kifejezett ívhosszúság	485
Görbületi mérték. A parabola görbülete	486
Térgörbe ívhosszúsága és érintője
Térgörb e ívhosszúsága. Körhengerre írt csavarvonal	489
Térgörbe érintője	490
Körkúpra írt csavarvonal	491
Gömbre írt lxodroma	493
Mercator-térkép	496
Stereografikus projekció	500
Forgási test palástjának felszíne
A palást felszínének definíciója és képlete rektifikálható meridián esetében. A gömbsüveg felszíne	504
Forgási ellipszoid felszíne	507
Vonaldarab súlypontja: Guldin-szabály. Teljes cyclois-ív súlypontja	509
Negyedastroid súlypontja	510
Félcardioid súlypontja	511
Függelék
A komplex számok. Az algebra alaptétele
A komplex számok, mint valós számpárok; a számsík. Összeadás és szorzás, az i szám	513
Kivonás és osztás	517
A Moivre-képlet. Alkalmazások	519
Az abszolút értéskre vonatkozó egyenlőtlenségek	521
Elemi geometriai alkalmazások	523
Négyzetgyök; másodfokú egyenlet	524
Binom egyenlet; egységgyökök	527
Az ötödik egységgyökök előállítása normálalakban. Szabályos ötszög és tízszög szerkesztése	529
Az összeg, szorzat és hányados folytonossága. Számsorozat határértéke	531
Az algebra alaptétele. Az egyenlet gyökeinek elemi szimmetrikus formái	533
Végtelen sorok
Aszimptotikus egyenlőségek
Aszimptotikus egyenlőségek	539
Példa	540
A Stirling-formula	541
A Cauchy- és a Toeplitz-féle határértéktétel
Cauchy első határértéktétele	544
Példa	546
Cauchy második határértéktétele	547
Példák	548
Toeplitz határértéktétele. Példa	549
Folyomány	552
Végtelen sor konvergenciája és divergenciája
Konvergens, ill. divergens sor. Folyományok	553
Konvergens sor asszociatiív sajátsága. A zárójelek elhagyhatásának feltétele	554
Konvergens sorok összeadása: szorzása egy számmal	555
Leibniz tétele a váltakozó előjelű sorról	556
A Markov- és az Euler-féle sortransformatio	558
Példák hatványsorba fejtésre
A geometriai sor: ennek tagonkénti differenciálhatósága	562
Logaritmusok kiszámítása: a 10 alapú logaritmsusok modulusa	569
Feltételes és abszolút konvergencia
A sor összege függhet a tagok sorrendjétől	578
Riemann tétele. Feltételesen konvergens sor	579
Abszolút konvergens sor	580
Pozitív tagú sorokra vonatkozó konvergencia- és divergencia-kritériumok
A konvergencia szükséges és elegendő feltétele	582
Az általános összehasonlító kritériumok	582
A logaritmikus kritériumok	590
A Raabe-féle kritérium	594
Az általánosított Gauss-féle kritérium	595
A Cauchy-féle integrál-kritérium	598
Abszolút konvergens sor felbosntása rész-sorokra
Szummábilis sor	605
Konvergens sorok szorzása
Az általános szorzási szabály. Abszolút konvergens sorok szorzása. A Cauchy-féle szorzási szabály	613
Mertens tétele	615
Sorok Cauchy-féle szorzata	616
Hatványsorok
A Cauchy-Hadamard-tétel	620
Hatványszor tagonkénti differenciálhatósága	622
Abel folytonossági tétele	624
Frobenius tétele	625
Koefficiens-összehasonlítás	627
Taylor-sor, Cauchy ellenpéldája	628
Elegendő feltétel a Taylor-sorba fejthetőségre	630
A binomiális sor
A binomiális sor konvergencia-tartománya	631
Példák binomiális sorba fejtésre	636
Függvénysorozat és függvénysor egyenletes konvergenciája
Egyenletes és egyenlőtlen konvergencia	637
Az egyenletes konvergencia szükséges és elegendő feltétele	640
Függvénysorozat határfüggvésnyének folytonossága	645
Weierstrass példája mindenütt folytonos, seholsem differenciálható függvényre	646
Egy segédtétel	649
Példák trigonometrikus sorba fejtésre	650
Függvénysor tagonkénti differenciálása és integrálása	666
Az Euler-féle összegképlet	680