| I. KÖTET - 1. füzet | |
| Bevezetés | 1 |
| NEM RENDEZETT HALMAZOK (SZÁMOSSÁGOK ELMÉLETE) | |
| Végtelen halmazok összehasonlítása | |
| Egy halmazelméleti probléma | 8 |
| Van-e végtelen halmazok között mennyiségi különbség? | 8 |
| Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés | 9 |
| Az ekvivalencia definíciója | 11 |
| Részhalmaz, valódi részhalmaz | 12 |
| Az ekvivalencia tulajdonságai | 14 |
| Megszámlálható halmazok | |
| Megszámlálható halmazok, sorozatba rendezés | 20 |
| Halmazok össszege, megszámlálható és véges halmazok összege megszámlálható | 21 |
| Véges számú megszámlálható halmaz összege megszámlálható | 22 |
| Megszámlálhatóan végtelen sok véges halmaz összege, amennyiben végtelen, megszámlálható, a racionális számok halmaza megszámlálható | 23 |
| Megszámlálhatóan végtelen sok megszámlálható halmaz összege is megszámlálható | 24 |
| Megszámlálható halmazból képezett véges sorozatok halmaza megszámlálható | 25 |
| Az algebrai számok halmaza megszámlálható | 26 |
| A valós számok megszámlálhatóságának kérdése | 27 |
| Kontinuum-számosságú halmazok | |
| A valós számok halmaza nem megszámlálható | 28 |
| Az irracionális és a transzcendens számok halmaza nem megszámlálható | 30 |
| Kontinuum-számosságú halmazok | 30 |
| Ekvivalens halmazok összege is ekvivalens | 33 |
| Az eddig megismert halmazok számosságának jelölése | 34 |
| A sík pontjainak halmaza kontinuum-számosságú | 34 |
| Halmazok szorzata, ekvivalens halmazok szorzata is ekvivalens | 36 |
| Megszámlálhatóan végtelen sok dimenziós tér pontjainak halmaza is kontinuum-számosságú | 38 |
| A számosságok közötti egyenlőtlenség fogalma | |
| Az egyenlőtlenség definiciója számosságok között | 39 |
| A számosságok közötti egyenlőtlenség valóban a számosságok tulajdonsága | 40 |
| A számosságok közötti egyenlőtlenség tulajdonságai | 41 |
| Az ekvivalencia-tétel bizonyítása | 43 |
| A gráf-terminológia | 46 |
| A kiindulásul választott kérdés megoldása | 48 |
| További vételen számosságokra vonatkozó kérdések | 49 |
| A KONTINUUMNÁL NAGYOBB SZÁMOSSÁGOK | |
| Az f és v számosságok | |
| A valós változás, valós értékű függvények halmaza a kontinuumnál nagyobb számosságú halmaz | 52 |
| f számosságú halmazok, halmazokból képezett hatvány | 53 |
| Az f-nél nagyobb számosságú halmaz | 54 |
| Nagyobbb számosságokhoz vezető tételek | |
| Bármely halmaznál van nagyobb számosságú halmaz | 55 |
| A hatványhalmaz | 57 |
| Számosságok bármely halmazához van olyan számosság, amely a halmazhoz tartozó bármely számosságnál nagyobb | 58 |
| MŰVELETEK SZÁMOSSÁGOK KÖZÖTT | |
| Számosságok összeadása | |
| Két számosság összege | 60 |
| Az összeadás tulajdonságai | 60 |
| A legegyszerűbb számosságok összeadása | 62 |
| Számosságok kivonása | 64 |
| Számosságok szorzása | |
| Két számosság szorzata | 64 |
| A szorzás tulajdonságai | 65 |
| A legegyszerűbb számosságok szorzása | 67 |
| Számosságok oszthatósága és osztása | 69 |
| Számosságok hatványozása | |
| Két számosságból képezett hatvány | 69 |
| A hatványozás tulajdonságai | 70 |
| A legegyszerűbb számosságok hatványozása | 72 |
| A hatványozás inverz műveletei a számosságok körében | 75 |
| Műveletek a 0 és 1 számosságokkal | 76 |
| EGYENLŐTLENSÉGEK SZÁMOSSÁGOK KÖZÖTT | |
| Az alapműveletek monotonsága | |
| Az összeadás monotonsága | 78 |
| A szorzás monotonsága | 78 |
| A hatványozás monotonsága | 79 |
| A monotonsági tételek következményei | 80 |
| Az ekvivalencia-tétel néhány további alkalmazása | 82 |
| A Kőnig-féle egyenlőtlenség és alkalmazásai | |
| A Kőnig-féle egyenlőtlenség | 83 |
| A Kőnig-féle egyenlőtlenség alkalmazásai | 85 |
| RENDEZETT ÉS JÓLRENDEZETT HALMAZOK (RENDTÍPUSOK ÉS RENDSZÁMOK ELMÉLETE) | |
| RENDEZETT HALMAZOK ÉS RENDTÍPUSAIK | |
| Műveletek rendtípusok között | |
| Rendtípusok összeadása | 97 |
| A rendtípusok összegének tulajdonságai | 99 |
| Rendtípusok szorzása | 102 |
| Rendtípusok szorzatának tulajdonságai | 105 |
| JÓLRENDEZETT HALMAZOK ÉS RENDSZÁMAIK | |
| A jólrendezett halmaz és a rendszám fogalma | |
| A rendtípusok nem mind alkalmasak egy elem helyének megjelölésére egy rendezett halmazban | 110 |
| A jólrendezett halmaz fogalma | 110 |
| A rendszám fogalma | 113 |
| Műveletek rendszámokkal | |
| Rendszámok összege | 114 |
| Rendszámok szorzata | 116 |
| A rendszámok közötti egyenlőtlenségek | |
| Az egyenlőtlenség definíciója a rendszámok között | 117 |
| A rendszámok közötti egyenlőtlenség tulajdonságai | 120 |
| A rendszámok közötti alapműveletekre és egyenlőtlenségre vonatkozó tételek | 126 |
| Jólrendezett halmaz elemeinek sorszámozása | 129 |
| A rendszámhalmazok jólrendezettsége | 131 |
| Bármely rendszámhalmazhoz van olyan rendszám, amely a halmazhoz tartozó bármely rendszámnál nagyobb | 132 |
| A transzfinit indukció elve és halmazelmélete alkalmazásai | |
| A transzfinit indukcióval való bizonyítás | 138 |
| A transzfinit indukcióval való definíció | 139 |
| A rendszámok hatványozásának definíciója | 141 |
| Rendszámok sorozatának határértéke, rendszámfüggvény folytonossága | 143 |
| Az összeadás és szorzás folytonossága | 146 |
| A hatvány folytonossága | 148 |
| A hatvány tulajdonságai | 149 |
| Végtelen sok rendszám szorzata | 151 |
| A második számosztály rendszámai | |
| A második számosztály | 154 |
| A második számosztály számainak előállítása 1 ismételt hozzáadása és limeszképzés segítségével | 155 |
| Az epszilon-számok | 161 |
| A magasabb számosztályok és az alefek | |
| A számosztály általános fogalma | 167 |
| A tetszőleges indexű kezdőszámok és alefek létezése | 169 |
| A jólrendezett tétel | |
| A jólrendezhetőség problémája | 174 |
| A jólrendezési tétel bizonyítása | 175 |
| A jólrendezési tétel következményei | 177 |
| A jólrendezési tétel és a kontinuumprobléma | 178 |
| I. KÖTET - 2. füzet | |
| A HALMAZELMÉLET ALKALMAZÁSAI | |
| PONTHALMAZOK | |
| A nyitott és zárt ponthalmazok | |
| A nyitott ponthalmazok számossága | 180 |
| Zárt és perfekt ponthalmazok | 181 |
| A perfekt ponthalmazok számossága | 182 |
| A zárt ponthalmazok számossága | 184 |
| A mértékprobléma és a Borel-féle ponthalmazok | |
| A Borel-féel ponthalmazok definíciója | 186 |
| A B-halmazok osztályozása | 187 |
| A B-halmazok tulajdonságai | 190 |
| Az analitikus és a projektív halmazok | 192 |
| A Lebesgue-féle értelemben nem mérhető halmaz létezése | 195 |
| A mértékprobléma általánosítása | 199 |
| NÉHÁNY ALKALMAZÁS AZ ANALÍZIS KÖRÉBŐL | |
| A Baire-féle függvényosztályok | |
| A képlettel felirható függvények problémája | 200 |
| A Baire-féle függvények fogalma | 201 |
| A Baire-féle függvények osztályozása | 201 |
| A Cauchy-féle függvényegyenlet | |
| A Cauchy-féle függvényegyenlet megoldásának problémája | 202 |
| A Cauchy-féle függvényegyenlet folytonos megoldásai | 205 |
| A Cauchy-féle függvényegyenlet monoton megoldásai | 206 |
| A Cauchy-féle függvényegyenlet általános megoldásának kérdése | 207 |
| A valós számok Hamel-féle bázisa | 208 |
| A Cauchy-féle függvényegyenlet általános megoldása | 211 |
| A Teichmüller-féle lemma | 213 |
| EGY ALKALMAZÁS AZ ALGEBRA KÖRÉBŐL | |
| Adott test bővítése algebrailag zárt testté | |
| Az algebrailag zárt bővítés problémája | 216 |
| Az algebrailag zárt bővítés létezésének bizonyítása a jólrendezési tétel segítségével | 218 |
| A Kuratowski-féle lemma | |
| Az algebrailag zárt bővítés létezésének Zorn-féle bizonyítása | 222 |
| A Kuratowski-féle lemma | 226 |
| A Kuratowski-féle lemma és a jólrendezési tétel viszonya | 228 |
| A HALMAZÁLEMÉLET JELENTŐSÉGE A MATEMATIKÁRA NÉZVE | |
| A matematika halmazelmélete felépítése | |
| Az aritmetika halmazelméleti felépítése | 232 |
| Az analízis halmazelméleti felépítése | 234 |
| Az algebra és a számelmélet halmazelméleti felépítése | 235 |
| A geometria halmazelméleti felépítése | 235 |
| A halmazelmélet didaktikai vonatkozásai | |
| A számfogalom kialakítása | 236 |
| A függvényfogalom kialakítása | 239 |
| A HALMAZELMÉLET ELLENTMONDÁSAI ÉS AZ AZOK KIKÜSZÖBÖLÉSÉRE IRÁNYULÓ TÖREKVÉSEK | |
| A HALMAZELMÉLET ANTINÓMIÁI | |
| A Russel-féle antinómia | |
| Az összes dolgok halmazának antinómiája | 242 |
| A nem tartalmazkodó halmazok halmazának antinómiája | 242 |
| Az összes halmazok halmazának antinómiája | 246 |
| A Russell-féle antinómia egyéb alakjai | 248 |
| A Burali-Forti-féle antinómia | |
| Az összes számosságok halmazának antinómiája | 249 |
| Az összes rendszámok halmazának antinómiája | 250 |
| A Richard-féel antinómia | |
| A legkisebb, bizonyos számú írásjellel nem definiálható természetes szám antinómiája | 251 |
| A véges számú jellel nem definiálható valós számok antinómiája | 252 |
| A halmazelmélet antinómiáinak magyarázata | |
| Ellenmondások a matematika fejlődésének különböző szakaszaiban | 253 |
| A matematikában fellépő ellenmondások magyarázata a dialektikus materializmus alapján | 256 |
| A halmazelmélet antinómiáinak magyarázata a dialektikus materializmus alapján | 260 |
| A halmazelmélet antinómiái idealista magyarázatának kritikája | 264 |
| A HALMAZELMÉLET AXIÓMATIKUS FELÉPÍTÉSE | |
| A halmazelmélet axiómarendszere | |
| A halmazelmélet ellentmondásai kiküszöbölésének programja | 269 |
| A halmazelmélet Zermelo-féle axiómarendszere | 272 |
| A halmazelmélet felépítésének vázlata a Zermelo-féle axiómarendszer alapján | |
| A rendezett pár fogalmának axiómatikus definíciója | 284 |
| Az ekvivalencia axiómatikus elmélete | 286 |
| A rendezett halmazok axiómatikus elmélete | 288 |
| A rendszámok és a számosságok axiómatikus elmélete | 291 |
| A véges és a megszámlálható halmazok axiómatikus elmélete | 295 |
| Az axiómatikus halmazelmélet és az antinómiák | 298 |
| A halmazelmélet más axiómarendszerei | |
| A Zermelo-Fraenkel-féle axiómarendszer | 301 |
| A Neumann-féle axiómarendszer | 303 |
| A halmazelmélet axiómarendszereinek kritikája | |
| A kiválasztási axióma körüli viták | 309 |
| Az egyenlőtlenség fogalmával kapcsolatos nehézségek | 312 |
| A tulajdonság és a függvény fogalmával kapcsolatos nehézségek | 314 |
| Az üres halmazból felépíthető halmazokra való szorítkozás kritikája | 317 |
| Teljestítik-e a halmazelmélet axiómarendszerei a hozzájuk fűzött reményeket? | 319 |
| AZ AXIÓMATIKUS MÓDSZER SZEREPE A MATEMATIKÁBAN ÉS A VELE KAPCSOLATOS KÉRDÉSEK | |
| AZ AXIÓMATIKUS MÓDSZER ALKALMAZÁSA A MATEMATIKA KÜLÖNBÖZŐ FEJEZETEIBEN | |
| A geometria axiómatikus tárgyalása | |
| Az Euklides-féle axiómarendszer | 322 |
| A Hilbert-féle axiómarendszer | 324 |
| Az aritmetika axiómatikus tárgyalása | |
| A Peano-féle axiómarendszer | 327 |
| Az aritmetika Peano-féle felépítése | 330 |
| Az axiómatikus módszer alkalmazása a matematika más fejezeteiben | |
| Az axiómatikus módszer alkalmazása az algebrában | 336 |
| Az axiómatikus módszer alkalmazása az analízisben | 340 |
| Az axiómatikus módszer alkalamazása a valószínűségszámításban | 341 |
| AZ AXIÓMATIKUS MÓDSZERREL KAPCSOLATOS KÉRDÉSEK | |
| Az ellentmondástalanság, függetlenség és teljesség követelménye | |
| Az axiómatikus módszer általános fogalmazása | 344 |
| Az ellentmodástalanság követelménye | 347 |
| A függetlenség követelménye | 351 |
| Az axiómák teljességének követelménye | 354 |
| Az ellentmondástalanság, függetlenség és teljesség kérdésére vonatkozó régebbi eredmények ideiglenes jellege és továbbfejlesztéséenk szükségessége | |
| A geometria axiómarendszereinek ellentmondástalansága és függetlensége | 359 |
| A geometria axiómarendszerének teljessége | 360 |
| További ellentmondástalansági és teljesség vizsgálatok szükségessége | 360 |
| II. KÖTET - 1. füzet | |
| Bevezetés | |
| A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI | |
| ÍTÉLETKALKULUS | |
| A logikai műveletek | |
| A logikai művelet fogalma | 14 |
| A konjunkció | 22 |
| A diszjunkció | 24 |
| Az implikáció | 25 |
| Az ekvivalencia | 34 |
| A negáció | 40 |
| Az ítéletkalkulus azonosságai | |
| Algebrai jellegű azonosságok | 42 |
| A kiszámítás törvényei | 48 |
| A tautológia törvényei | 51 |
| A negációs azonosságok | 53 |
| A de Morgan-féle azonosságok | 55 |
| A logikai műveleteknek egymással való kifejezésére vonatkozó azonosságok | 59 |
| További nevezetes azonosságok | 71 |
| Az ítéletkalkulus kifejezéseinek normál formái | |
| Konjuktív és diszjunktív normálforma | 76 |
| Kitüntetett konjuktív és diszjuktív normálforma | 84 |
| Az ítéletkalkulus alkalmazása a következmény-fogalom szabatos definíciójára | |
| Ítéletek szerkezete | 100 |
| Az ítéletkalkulus következmény-fogalma | 102 |
| Az ítéletkalkulus következmény-fogalmának visszavezetése az azonosan kifejezés fogalmára | 108 |
| Az ítéletkalkulus néhány nevezetes következtetésmódja | 137 |
| A LOGIKAI FÜGGVÉNYKALKULUS | |
| A logikai függvények és kvantorok | |
| Az ítéletkalkulus következmény-fogalmának elégtelensége | 129 |
| Logikai függvények | 130 |
| Műveletek logikai függvényekkel | 135 |
| A kvantorok | 137 |
| A függvénykalkulus azonosságai | |
| Kifejezések és formulák | 144 |
| A függvénykalkulus legfontosabb azonosságai | 146 |
| Azonosságok alkalmazása, a helyettesítés különböző fajtái | 154 |
| Prenex normálforma | 172 |
| A függvénykalkulus alkalmazása a következmény-fogalom szabatos definíciójára | |
| A matematika axiómatizált fejezeteinek formalizásása | 175 |
| Restringált kvantorok | 186 |
| Az egyenlőség-reláció, az unicitás formalizálása | 190 |
| Néhány axiómarendszer formalizálása | 193 |
| A függvénykalkulus következmény-fogalma | 211 |
| A függvénykalkulus néhány nevezetes következtetés-módja | 228 |
| Az ellentmondástalanság halmazelméleti fogalma | 237 |
| A függetlenség halmazelméleti fogalma | 243 |
| A teljesség halmazelméleti fogalma | 251 |
| Az eldöntésprobléma | |
| Azonosan igaz és kielégíthető formulák | 264 |
| Az eldöntésprobléma visszavezetése matematikai függvényeket nem tartalmazó formula esetére | 271 |
| Az eldöntésprobléma visszavezetése exisztenciális kvatorokat nem tartalmazó, de matematikai függvényeket tartalmazó formulák kielégíthetőségének kérdésére | 276 |
| Az eldöntésprobléma visszavezetése az egyenlőség-relációt nem tartalmazó formula esetére | 279 |
| Az eldöntésprobléma megoldása adott számosságú véges individuum-tartomány esetén | 283 |
| A Löwenheim-Skolaem-féle tétel | 286 |
| Az eldöntésproblémára vonatkozó további vizsgálatok | 298 |
| A BIZONYÍTÁSELMÉLET ELEMEI | |
| A Gödel-féle teljességi tétel | |
| A következmény fogalmának a halmazelméleti fogalmaktól való függetlenségének szükségessége | 311 |
| A logikai függvénykalkulus axiómatizálása | 312 |
| A következmény bizonyításelméleti fogalma | |
| A Gödel-féle teljességi tétel alkalmazása a következmény fogalmának bizonyításelmélet definiciójára | 318 |
| A következnény bizonyításelméleti fogalmának alkalmazása matematikai axiómarendszerekre | 326 |
| Az ellentmondástalanság, függetlenség és kategroricitás bizonyításelméleti fogalma | 331 |
| A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSA AXIÓMARENDSZEREK ELLENTMONDÁSTALANSÁGÁNAK, FÜGGETLENSÉGÉNEK ÉS TELJESSÉGÉNEK VIZSGÁLATA | |
| AZ ELLENTMONDÁSTALANSÁG ÉS A FÜGGETLENSÉG VIZSGÁLATA | |
| A modell-módszer | |
| A modell-módszer alkalmazása a geometriában | 333 |
| A modell-módszer általános fogalmazása | 337 |
| A modell-módszer további alkalmazásai | 345 |
| Axiómarendszerek abszolut ellentmondástalanságának bizonyítására szolgáló módszerek | |
| Abszolut ellentmodástalanság-bizonytás lehetősége | 354 |
| Az értékelés-módszer | 356 |
| A részértékelés-módszer | 366 |
| A kiintegárlás módszere | 374 |
| A bizonyítás egyszerűsítésének módszere | 381 |
| Az ellentmondástalanság-vizsgálatok jelentősége | 390 |
| Axiómarendszerek függetlenségének bizonyításelméleti vizsgálata | |
| A függetlenség kérdésének visszavezetése az ellentmondástalanság kérdésére | 400 |
| A függetlenség vizsgálatának módszerei | 408 |
| Axiómarendszerek egyszerűsítése | 414 |
| A KATEGORICITÁS VIZSGÁLATA | |
| Axiómarendszerek kategoricitására vonatkozó pozitív eredmények | |
| Kategroikus aritmetikai axiómarendszerek | 423 |
| Kategorikus algebrai axiómarendszerek | 426 |
| Axiómarendszerek kategoricitására vonatkozó negatív eredmények | |
| A Gödel-féle tétel | 428 |
| A Gödel-tétel bizonyítása | 438 |
| A Gödel-tétel jelentősége | 448 |
| A Church-féle tétel | 462 |
| Az algoritmus fogalma | 467 |
| A Church-tétel bizonyításának vázlata | 476 |
| A Church-tétel jelentősége | 480 |
| További, algoritmussal megoldhatatlan problémaseregek | 486 |
| A MATEMATIKA ELVI KÉRDÉSEI | |
| A matematika tárgya és módszere | |
| A matematika tárgya | 492 |
| A matematika módszere | 495 |
| A matematikai absztrakció | 499 |
| A matematika viszonya a valósághoz és a többi tudományhoz | |
| A matematika és a valóság | 505 |
| A matematika és a társadalom | 511 |
| A matematika és más tudományok | 517 |
| A matematika és a technika | 520 |
Folytatás Microsoft-tal