A matematika alapjai II/1. (töredék)

Előszó

A halmazelmélet antinómiái, mint ennek az előadásnak az első részében láttuk, szükségessé tették a halmazelméletnek olyan felépítését, amelyben nem jelentkeznek az antinómiák. Ilyen felépítés az axiómatikus módszer segítségével lehetséges. Az axiómatikus módszert a matematika más fejezeteiben - a geometriában, az aritmetikában, az algebrában, az analízisben, a valószínűségszámításban - is használjuk. Az axiómatikus módszer alkalmazásával kapcsolatban mindig felmerül az éppen alkalmazott axiómarendszer ellentmondástalanságának, függetlenségének és teljességének kérdése. Az ellentmondástalanság kérdésének különös hangsúlyt adnak a halmazelmélet antinómiái, tekintettel arra, hogy halmazelméleti módszereket a matematika más fejezeteiben is alkalmazunk. A teljesség kérdését viszont azért is szükséges vizsgálnunk, mert az axiómatikus módszer alkalmazása szempontjából elvi jelentőségű az a kérdés, milyen mértékben lehet egyrészt valamely tudományágban szereplő alapfogalmakat, másrészt azt, hogy a kérdéses tudományágban mely tételek érvényesek, axiómák segítségével jellemezni.
Az említett kérdések vizsgálatához, mint láttuk, mindenekelőtt szabatosan kell definiálnunk, mit értünk azon, hogy egy ítélet adott axiómák alapján bebizonyítható, más szóval, hogy az axiómák következménye. Az axiómák maguk is ítéletek; azt, hogy milyen esetben helyes valamely ítélet igazságára következtetni más ítéletek igazságából, a helyes gondolkodás formáival és törvényeivel foglalkozó tudomány, a logika vizsgálja. Eszerint az adott axiómák alapján bebizonyítható ítélet fogalmának pontos definíciója a logika feladata. Vissza