Algebra

Előszó

Ez a jegyzet az ELTE matematika szakos hallgatók "Algebra" c. előadásának anyagát tartalmazza kibővített formában. Az anyag egy részére az előadásokon csak utalás történik, vagy egyes tételek csak bizonyítás nélkül szerepelnek. A jegyzet végén egy részletes irodalomjegyzék ad segítséget az algebra iránt fokozottabban érdeklődő hallgatók további tanulmányaihoz.
Az algebrát tömören (és természetesen ezért pontatlanul) a műveletek tanának nevezhetjük. Vizsgálataink tárgya az algebrai struktúrák, azaz olyan halmazok, amelyeken bizonyos tulajdonságokkal rendelkező műveletek vannak értelmezve. Az algebra e század 20-as éveiig az un. (mai szóhasználattal) klasszikus algebrát jelentette, amely nem más, mint az egyenletek elmélete, pontosabban numerikus problémák megoldása szimbólumok segítségével. Az algebrai struktúrák (csoport, gyűrű, Boole-algebra, stb.) rendszeres vizsgálata a 20-as évek második felében kezdődött, Emmy Noether, Wolfgang Krull, Emil Artin munkássága nyomán. A klasszikus algebrától való megkülönböztetésül modern algebrának nevezték. Később a rohamos fejlődés miatt még modernebb algebrának kellett volna nevezni, ezért célszerűbbnek látszott a "modern" jelzőt egyszerűen elhagyni. Az 1950-ig terjedő időszakra igen nagy hatással volt az un. axiomatikus tárgyalási mód. Ezt követően elsősorban két irány gyakorolt jelentős befolyást az algebrára: a kategóriaelmélet és az un. univerzális algebrák elmélete. Napjaink algebráját jelentősen befolyásolják a számítástudomány által felvetett problémák. Az algebra fejlődésével kapcsolatban érdemes elolvasni Garrett Brikhoff "Az algebra mai fejlődési irányai" c. cikkét, amely a Matematikai Lapok 1972/3-4-es számában jelent meg.
A Testelmélet c. fejezet egyes paragrafusainál erősen támaszkodtam Fuchs László "Algebra" c. jegyzetére. A jegyzet viszonylag kevés alkalmazási területtel foglalkozik, ennek legfőbb oka, hogy magyar nyelven rendelkezésre áll G. Birkhoff és T. C. Bartee "Modern algebra a számítástudományban" c. könyve. Vissza