| Az elemi matematika néhány fontosabb összefüggése és tétele | |
| Aritmetika | 17 |
| A valós számokra vonatkozó fontosabb számolási szabályok | 17 |
| Az abszolút érték | 17 |
| Az előjel | 18 |
| Középérték | 18 |
| Számtani (aritmetikai) és mértani (geometriai) haladvány összege | 18 |
| A faktoriális | 18 |
| A binomiális együtthatók | 18 |
| A binomiális tétel | 18 |
| Bernoulli-féle egyenlőtlenség | 19 |
| Analitikus geometria a síkban | 19 |
| Távolság | 19 |
| Koordináta-rendszer transzformációja | 19 |
| Egyenes egyenletei | 20 |
| Egyenesek metszése | 20 |
| Háromszög területe | 21 |
| Másodrendű görbék egyenletének kanonikus alakja | 21 |
| Analitikus geometria a térben | 21 |
| Távolság | 21 |
| Egyenes egyenletrendszere | 21 |
| Sík egyenlete | 21 |
| Két sík hajlásszöge | 21 |
| Másodrendű felületek egyenletének kanonikus alakja | 21 |
| Számsorozatok és végtelen sorok | |
| Számsorozatok | 24 |
| Definíció | 24 |
| Korlát és határ | 24 |
| Sűrűsödési érték; határérték | 24 |
| Fontosabb tételek | 25 |
| Cauchy-féle konvergencia-kritérium | 25 |
| A monotonitás tétele | 25 |
| Határértékek számítására vonatkozó tételek | 25 |
| Végtelen sorok | 25 |
| Definíció | 25 |
| Cauchy konvergencia-kritériuma | 26 |
| Néhány fontosabb tétel | 26 |
| Műveletek végtelen sorokkal | 27 |
| Függvényekre vonatkozó fontosabb alapfogalmak | |
| Változó és függvény | 28 |
| Változó és intervallum | 28 |
| A függvény | 28 |
| A függvény megadása | 28 |
| Inverz függvény | 29 |
| Algebrai és transzcendens függvény | 29 |
| Páros és páratlan függvények | 29 |
| Periodicitás | 29 |
| Monotonitás; korlátosság | 30 |
| Függvény határértéke | 30 |
| A független változó határértéke | 30 |
| Függvény határértéke | 30 |
| A határértékekre vonatkozó néhány tétel | 31 |
| A függvény folytonossága | 32 |
| Definíció | 32 |
| A folytonosságra vonatkozó néhány tétel | 32 |
| Jobb- és baloldali folytonosság; egyenletes és szakaszonkénti folytonosság | 33 |
| A függvény ábrázolása | 33 |
| Egyértékű, folytonos függvény képe | 33 |
| Inverz függvény képe | 34 |
| Páros és páratlan függvény képe | 34 |
| Lineáris transzformáció | 34 |
| Az elemi függvények | |
| Racionális egész függvények | 35 |
| Racionális egész függvény | 35 |
| Zérushelyek | 35 |
| Lagrang-féle interpolációs polinom | 35 |
| Newton-féle interpolációs polinom | 35 |
| Racionális tört függvények | 37 |
| Racionális tört függvény | 37 |
| Zérushelyek | 37 |
| Pólus | 37 |
| Hézagpont, megszüntethető szingularitás | 37 |
| A végtelenben való viselkedés | 38 |
| Racionális tört függvény részlettörtekre való felbontása | 38 |
| Exponenciális függvények | 39 |
| Definíció és fontosabb összefüggések | 39 |
| A logaritmusfüggvény | 40 |
| Definíció | 40 |
| Fontosabb összefüggések | 40 |
| Trigonometrikus függvények | 41 |
| Szög ívmértéke | 41 |
| Trigonometrikus függvények definíciója | 41 |
| Fontosabb összefüggések | 42 |
| Néhány fontos határérték | 44 |
| Az arkuszfüggvények | 44 |
| Definíció | 44 |
| Fontosabb összefüggések | 45 |
| Hiperbolikus függvények | 45 |
| Definíció | 45 |
| Fontosabb összefüggések | 46 |
| Fontosabb határértékek | 46 |
| Areafüggvények | 47 |
| Definíció | 47 |
| Differenciálszámítás | |
| A derivált fogalma | 48 |
| Differenciahányados és derivált | 48 |
| Geometriai jelentés | 48 |
| Differenciálhatóság és folytonosság | 49 |
| Jobb- és baloldali derivált | 49 |
| Differenciál | 49 |
| Differenciálási szabályok | 50 |
| Általános szabályok | 50 |
| Az alapfüggvények deriváltjai | 51 |
| Magasabbrendű deriváltak | 52 |
| n-edik derivált | 52 |
| n-edik differenciál | 52 |
| Leibniz-szabály | 52 |
| Új független változó bevezetése | 52 |
| Középértéktétel | 53 |
| Rolle tétele | 53 |
| Lagrange-féle középértéktétel | 53 |
| Cauchy-féle középértéktétel | 53 |
| Határozatlan alakokra vezető határértékek meghatározása | 53 |
| Bernoulli-l'Hospital szabálya | 53 |
| Grafikus és numerikus differenciálás | 54 |
| Grafikus differenciálás | 54 |
| Numerikus differenciálás | 54 |
| Függvényvizsgálat, görbediszkusszió | 55 |
| Taylor-formula | 56 |
| Általános alak | 56 |
| Más írásmódok | 57 |
| Egyenletek megoldása | |
| Algebrai egyenletek gyökeinek szétválasztása | 58 |
| Gyökök abszolút értékének felső korlátja | 58 |
| Rolle tétele | 58 |
| A többszörös gyökök eltávolítása | 58 |
| Descartes jelszabálya | 58 |
| Sturm tétele | 58 |
| Közelítő módszerek | 59 |
| Húr-módszer (regula falsi) | 59 |
| Érintő-módszer (Newton módszere) | 59 |
| Iteráció | 60 |
| A ruffini - Horner-féle módszer | 60 |
| Integrálszámítás | |
| Határozatlan és határozott integrál | 62 |
| Határozatlan integrál | 62 |
| Határozott integrál | 62 |
| Integrálási szabályok | 62 |
| Alapintegrálok | 62 |
| Általános szabályok | 64 |
| Néhány fontosabb integrál | 64 |
| Néhány fontosabb határozott integrál | 65 |
| Határozott integrál kiszámítása helyettesítéssel | 66 |
| Másodfokú polinom néhány függvényének az integrálása | 66 |
| Racionális függvények integrálása | 67 |
| Racionális függvények integrálására visszavezethető integrálok | 68 |
| A határozott integrál mint összeg határértéke (Riemann-féle integrál) | 69 |
| Alsó és felső integrálközelítő összeg | 69 |
| Riemann-féle integrál | 69 |
| A Riemann-féle integrál néhány tulajdonsága | 70 |
| Görbe alatti terület | 70 |
| Az integrálszámítás középértéktétele | 70 |
| Középértéktétel | 70 |
| Adott függvény adott intervallumra vonatkozó integrál-középértékei | 70 |
| Integrálbecslések | 71 |
| Grafikus és numerikus integrálás | 71 |
| Grafikus integrálás | 71 |
| Numerikus integrálás | 72 |
| Az integrálszámítás néhány alkalmazása | 72 |
| Szektorterület kiszámítása | 72 |
| Térfogatszámítás a Cavalieri-féle elv alapján | 73 |
| Forgástest térfogata | 73 |
| Görbedarab ívhossza | 73 |
| Forgásfelület felszíne | 73 |
| Tömegközéppont (súlypont) koordinátái | 73 |
| Forgástest másodrendű nyomatéka | 74 |
| Pappus-Guldin-féle tételek | 74 |
| Improprius integrálok | 74 |
| Végtelen határú (nem korlátos tartományra kiterjesztett) integrál | 74 |
| Nem korlátos függvény integrálja | 75 |
| Függvénysorok | |
| Definíciók és tételek | 76 |
| Függvénysor | 76 |
| Egyenletes konvergencia | 76 |
| Hatványsorok | 77 |
| Definíciók | 77 |
| Hatványsor konvergenciája | 77 |
| Analitikus függvények | 78 |
| Néhány fontosabb sorfejtés | 78 |
| Hatványsorok | 78 |
| Gauss-féle hibaintegrál | 79 |
| Integrálszinusz-függvény | 80 |
| Integrálllogaritmus-függvény | 80 |
| Elliptikus integrál | 80 |
| Riemann-féle zétafüggvény | 80 |
| Néhány közelítő formula | 80 |
| Néhány fontosabb sorösszeg | 81 |
| Fourier-sorok | 81 |
| Definíció | 81 |
| A Fourier-sor együtthatói | 81 |
| Fourier-sor konvergenciája | 81 |
| Dirichlet feltétele | 82 |
| Többváltozós függvények | |
| Többváltozós függvények fogalma | 83 |
| A többváltozós függvény | 83 |
| Értelmezési tartomány | 83 |
| Határérték, folytonosság | 83 |
| Többváltozós függvények szemléltetése | 84 |
| Parciális derivált | 85 |
| Definíció | 85 |
| A parciális derivált jelentése | 85 |
| Parciális differenciál | 85 |
| Differenciálhatóság. véges növekményekre vonatkozó közelítő egyenlőség. Teljes differenciál | 85 |
| A kétváltozós függvényre vonatkozó véges növekmények tételének geometriai jelentése | 86 |
| Iránymenti derivált | 86 |
| Összetett függvények | 87 |
| Implicit függvények | 87 |
| Magasabbrendű parciális deriváltak | 88 |
| Magasabbrendű differenciálok | 88 |
| Függvényrendszerek. Transzformációk (leképzések) | 89 |
| Függvényrendszerek | 89 |
| Jacobi-féle (függvény-) determináns | 91 |
| Taylor tétele. Középértéktétel | 92 |
| Taylor tétele | 92 |
| Középértéktétel | 92 |
| Felületi pontok osztályozása. Szélső értékek | 92 |
| Felületi pontok osztályozása | 92 |
| Kétváltozós függvény helyi szélső értéke | 93 |
| Többváltozós függvények helyi szélső értéke | 93 |
| Feltételes szélső értékek | 93 |
| Többváltozós függvények integrálása | |
| Paraméteres integrál | 95 |
| Kétváltozós függvény egyik változó szerinti integrálja | 95 |
| Paraméteres integrál paraméter szerinti differenciálása | 96 |
| Tartományintegrálok | 96 |
| Definíció | 96 |
| Tartományintegrálok alaptulajdonságai | 97 |
| Középértéktétel | 98 |
| Tartomány szerinti differenciálás | 98 |
| Kettős és hármas integrálok | 98 |
| Kettős integrál definíciója | 98 |
| Hármas integrál definíciója | 99 |
| Kettős integrál kiszámítása kétszeres integrálással | 99 |
| Hármas integrál kiszámítása háromszoros integrálással | 100 |
| Az integrációs változók transzformációja | 100 |
| Kettős integrál változóinak traszformációja | 100 |
| Hármas integrál változóinak transzformációja | 101 |
| Kettős és hármas integrálok néhány alkalmazása | 101 |
| Síkrész területe | 101 |
| Hengerszerű test térfogata | 102 |
| Térrész térfogata | 102 |
| Tömegközéppont (súlypont) meghatározása | 103 |
| Tehetetlenségi (másodrendű) nyomatékok | 103 |
| Tömegeloszlás potenciálja | 105 |
| Síkgörbék differenciálgeometriája | |
| Érintő, normális, ívhossz | 106 |
| Síkgörbe előállítása derékszögű koordináta-rendszerben | 106 |
| Érintő és normális | 106 |
| Ívhossz és ívelem | 106 |
| Tangens, normális, szubtangens, szubnormális | 106 |
| Néhány fontosabb görbe | 107 |
| Két görbe metsződése és érintkezése | 108 |
| Metszési szög | 108 |
| n-ed rendű érintkezés | 108 |
| Görbület, görbületi kör (simulókör) | 108 |
| Görbület | 108 |
| Görbületi sugár | 108 |
| Görbületi középpont (simulókör középpontja) | 109 |
| Evoluta, evolvens | 109 |
| Polárkoordináták | 109 |
| Polárkoordináták | 109 |
| Ívelem, érintő | 109 |
| Polártangens, polárnormális, polárszubtangens, polárszubnormális | 110 |
| Szektorterület | 110 |
| Görbület | 110 |
| Néhány fontosabb görbe egyenlete polárkoordinátákkal | 110 |
| Aszimptoták | 110 |
| Derékszögű koordinátákban | 110 |
| Polárkoordinátákban | 111 |
| Síkgörbék szinguláris pontjai | 111 |
| Definíció | 111 |
| Görbesereg burkolója | 111 |
| Meghatározás | 111 |
| Komplex számok, komplex változós függvények | |
| Komplex számok értelmezése, ábrázolása és aritmetikája | 112 |
| Komplex számok értelmezése | 112 |
| Komplex számok ábrázolása | 112 |
| Alapműveletek komplex szám algebrai alakjával | 113 |
| Komplex szám trigonometrikus alakja | 113 |
| Műveletek trigonometrikus alakú komplex számokkal | 114 |
| A reciprok érték szerkesztése. Inverzió | 114 |
| Komplex változós függvények | 115 |
| Definíció | 115 |
| Folytonosság | 115 |
| Differenciálhatóság | 115 |
| Harmonikus függvények | 116 |
| Az elemi komplex változós függvények | 117 |
| Exponenciális függvény. Euler-féle reláció | 117 |
| Logaritmusfüggvény | 117 |
| Trigonometrikus és hiperbolikus függvények | 117 |
| Arkusz- és areafüggvények | 118 |
| Konform leképezés | 118 |
| Leképezés | 118 |
| Konform leképezés | 119 |
| Komplex sorok | 119 |
| Konvergencia | 119 |
| Abszolút konergencia | 119 |
| Hatványsorok | 119 |
| Integrálás a komplex számsíkon | 119 |
| Görbe menti integrál | 119 |
| Határozatlan integrál | 120 |
| A komplex változós függvénytan fő tételei | 120 |
| Az alaptétel | 120 |
| Cauchy integrál-képlete | 120 |
| A Cauchy-Taylor-féle és a Laurent-féle sor | 120 |
| Reguláris és szinguláris pontok osztályozása | 121 |
| A végtelen pont | 122 |
| Az algebra alaptétele | 122 |
| Vektoralgebra, determinánsok, lineáris egyenletrendszerek | |
| Vektoralgebra | 123 |
| Alapfogalmak | 123 |
| Vektorok összeadása és kivonása | 124 |
| Vektor szorzása számmal (skalárral) | 124 |
| A vektorok lineáris függése, illetve függetlensége | 125 |
| Két vektor skaláris szorzata | 126 |
| A skaláris szorzat néhány alkalmazása | 126 |
| Két vektor vektoriális szorzata | 126 |
| Három vektor vegyes szorzata | 127 |
| Hármas vektorszorzat kifejtési tétele | 127 |
| Négyes vektorszorzatok | 127 |
| Vektorok felbontása a derékszögű koordináta-rendszerben | 128 |
| Vektorok felbontása a derékszögű koordináta-rendszerben | 128 |
| A vektorokkal való műveletek elvégzése koordinátákkal | 128 |
| Néhny alkalmazás az analitikus geometriában | 128 |
| Koordináta-transzformációk | 129 |
| Párhuzamos eltolás | 129 |
| Origó körüli elforgatás | 129 |
| Determinánsok | 130 |
| Másodrendű determináns | 130 |
| Harmadrendű determináns | 130 |
| Determináns tételek | 130 |
| Lineáris egyenletrendszerek | 130 |
| Definíciók | 130 |
| Inhomogén lineáris egyenletrendszer | 131 |
| Homogén lineáris egyenletrendszer | 131 |
| A vektoranalízis elemei | |
| Egy paraméteres vektor-skalár függvények. Térgörbék | 132 |
| alapfogalmak | 132 |
| Derivált | 133 |
| Térgörbe ívhossza | 133 |
| Az ívhossz mint paraméter | 133 |
| Simulósík | 134 |
| Főnormális, görbület | 134 |
| Térgörbe kísérő triédere | 134 |
| A torzió | 134 |
| Frenet-féle képletek | 134 |
| Térgörbe adatainak meghatározása általános esetben | 135 |
| Két paraméteres vektor-skalár függvények. Felületek | 135 |
| Alapfogalmak | 135 |
| Deriváltak | 136 |
| Érintősík, normális | 137 |
| Felületdarab felszíne | 137 |
| Skalár-vektor függvények, skalárterek | 138 |
| Alapfogalmak | 138 |
| A gradiens vektor | 139 |
| Irány menti derivált | 140 |
| Skalár-vektor függvény görbe menti integrálja | 140 |
| Skalár-vektor függvény felszín-integrálja | 140 |
| Vektor-vektor függvények, vektorterek | 140 |
| Alapfogalmak | 140 |
| Derivált | 142 |
| Divergencia, rotáció | 144 |
| Vektor-vektor függvény görbe menti integrálja | 144 |
| Vektor-vektor függvény felületi integrálja | 145 |
| Vektor-vektor függvény skaláris potenciálja | 145 |
| Gauss-Osztrogradszkij-féle tétel | 145 |
| Síkbeli Gauss-Osztrogadszkij-féle tétel | 145 |
| Green tétele | 146 |
| Stokes tétele | 146 |
| Differenciálegyenletek | |
| Definíciók, alapfogalmak | 147 |
| Definíció, osztályozás | 147 |
| Differenciálegyenletek megoldásai | 147 |
| Elemi integrálási módszerek elsőrendű közönséges differenciálegyenleteknél | 148 |
| Szétválasztható változójú differenciálegyenletek | 148 |
| Szétválasztható változójúra visszavezethető differenciálegyenletek | 149 |
| Elsőrendű lineáris és erre visszavezethető differenciálegyenletek | 149 |
| Egzakt differenciálegyenlet; integráló tényező | 149 |
| Közelítő módszerek | 150 |
| Speciális típusú másodrendű differenciálegyenletek | 151 |
| Hiányos másodrendű differenciálegyenletek | 151 |
| Másodrendű lineáris differenciálegyenletek | 152 |
| Lineáris differenciálegyenletek | 152 |
| Inhomogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása | 152 |
| Állandó együtthatójú homogén lineáris differenciálegyenlet | 153 |
| Állandó együtthetójú inhomogén lineáris differenciálegyenlet megoldása kísérletező feltevéssel | 154 |
| Euler-féle lineáris differenciálegyenlet | 154 |
| Irodalomjegyzék | 155 |
