Bevezetés a halmazok és függvények általános elméletébe

Előszó

Az anyagi világ természetére vonatkozó vizsgálatok hozták létre a matematika gerincét: az analízist. Ennek fejlődése során már a múlt század elején nyilvánvalóvá vált, hogy a számegyenes és a sík tetszőleges pontjaiból álló halmazok szerkezetének a vizsgálata alapvető fontosságú és elengedhetetlenül szükséges az analízis továbbfejlesztése számára. Ez irányban már akkor meg is történtek az első kísérletek: Bolzano és Cauchy kutatásai a halmazelméleti gondolkodásmód világos nyomait mutatják. Érdekes megjegyezni, hogy ugyanebben a korban Bolyai Farkas Tentamenjében is számos olyan utalás fordul elő, amelynek alapján nyilvánvaló, hogy Bolyai - ha nem is teljes határozottsággal - megsejtette a halmazelméleti vizsgálatok szükségességét. Ezekből az első tapogatózásokból azonban hiányzott a világos és szigorú halmazelméleti fogalomalkotás, ezért nem is fejthették ki a kívánatos hatást. Csupán a XIX. század hatvanas éveiben ért el a fejlődés olyan fokra, hogy a fiatalon Németországba kényszerült orosz G. Cantor lángesze képes lehetett a halmazelméletet nagy lendülettel fejlődő matematikai diszciplinává kiépíteni. Azóta a halmazelméleti módszer a matematikusok mindennapi kenyerévé vált.
A XX. században a halmazelméleti gondolkodásmód mélyen behatolt a matematika legkülönbözőbb területeire: a valós és a komplex függvények elmélete ma már el sem képzelhető ponthalmazelmélet nélkül; a topológia pedig, a geometriának ez a legújabb halmazelméleti ága, teljesen áthatotta a matematika számos klasszikus részét is, így például a differenciálgeometriában vagy a differenciálegyenletek elméletében hemzsegnek a topológiai jellegű fogalomalkotások és tételek. De a matematika közvetlen kutatási területein túlmenően, az anyag finomabb szerkezeti vizsgálatai sem nélkülözhetik a ponthalmazelmélet eredményeit, tekintve, hogy az atomfizikában alkalmazott valószínűségszámítási módszerek a Lebesgue-integrál, a funkcionáloperátorok és a Hilbert-tér elmélete nélkül életképtelenek volnának. Igen érdekes ezzel kapcsolatban megjegyezni, hogy a matematikától ma még viszonylag távolabbeső kémiai tudomány egyik fontos kérdését, a kémiai individuum problémáját Kurnakov csupán az egyensúlyi rendszerek vizsgálatánál alkalmazott topológiai módszerek segítségével tisztázhatta. Vissza