Lehrbuch der höheren Mathematik I-II.

Tartalom

IN HALT.
erster theil.
ALGEBRAISCHE ANALYSIS.
EINLEITUNG.
Seite
1 - 8. Begriff der Funktion. - Erklarungen dieFuuktionen betreffend 3
9-10. Eintheilung der Funktionen „ 5
11. Homogene und periodische Funktionen 7
12. Symmetrische Funktionen. Bezeichnung und Bildung der rationalen symmetrischen Funktionen 8
13. Die Stetigkeit der Funktionen 10
14. G-eometrische Darstellung der Funktionen 10
ERSTES KAP1TEL.
Yon den unendlich gross uud unendlich klein werdenden Grössen unddenGrenzwerthen der
Funktionen.
15--16. Erklarungen und allgemeine Siitze über die unendlich gross
und unendlich klein werdenden Grössen 13
17-18. Erklarungen und allgemeine Siitze über die Grenzen der
Funktionen 16
19. Nahere Bestimmung des BegrifFes einer stetigen Funktion . . 19
ZWEITES KAPITEL.
Yon den unendlichen Reihen im Allgemeinen.
20- -22. Erklarungen. - Allgemeines und summatorisckes Glied einer 20
23- -24. Begriffe der Summe einer tmendlichen Reihe, der Convergenz 23
und Divergenz der Reihen
25- -34. Kennzeichen der Convergenz und Divergenz der unendlichen 25
Reihen
35- -38. Ueber die Convergenz der Potenz-Reihen, ihrer Summen und 39
39. 43
§ § Seite.
40. Beispiele iiber die Anwendung dieses Satzes. - Rekurrente
Reihen. - Umkehrung der Reihen 44
DRITTES KAP1TEL.
Von den imaginaren G-rössen und den algebraischen
Funktionen mit imaginaren Verán derlichen.
41-44. Allgemeinc Bemerkungen und Síitze iiber complexe Grössen . 51
45_47. Von den reducirten Ausdrücken; Multiplikation und Division
derselben. - Einige Síitze iiber die Moduli imaginarer Grössen 52
48-49. Moivre's Binomialformel. - Folgerungen 55
q __
50-52. Darsteilung der Werthe von y+1 59
53. Imagináre Reihen. - Convergenz derselben 63
54. Anwendung derselben auf Reihensummirung 64
VIERTES KAPITEL.
Entwickelung der Funktionen in Reihen.
55-59. I. Die Binomialreihe 67
60. Der polynomische Lehrsatz 76
61. II. Die Exponentialreihe 80
aa_1 _
62. Die Grenzwerthe: lim - und lim (1 + /L?) /S 82
63-66. III. Logarithmische Reihen 83
IV. Trigonometrische Reihen:
67-68. A. Reihen für Sinus und Cosinus vielfacher Bögen ... 87
69-72. B. Reihen für sin x, cos x, tg x etc., welche nachPotenzen
des Bogens x fortschreiten 93
73. C. Cyklometri sche Reihen 101
G74. Reihen zur Berechnung der Zahl iz 102
75. D. Potenzen des Sinus und Cosinus eines Bogens, ausgedriickt clurch Sinus und Cosinus der Vielfachen des
Bogens 104
FÜNFTES KAPITEL.
Von den transcendenten Funktionen mit imaginaren
Ve ran d er lich en.
76-77. Die Exponentialfunktion mit imaginárem Exponenten. Transformation derselben in die Form u -f vi. - Sinus und Cosinus
eines Bogens durch í^xponentialfunktionen ausgedrückt. -
Folgerungen 107
78. Logarithinus einer imaginaren Veránderlichen. Transformation desselben in die Form u + vi 110
79. Goniometrische und cyklometrische Funktionen von imag.Veránderlichen 112
80. Anwendungen, insbesondere auf die Suminirung mehrerer haufig vorkommenden Reihen 113
SECHSTES KAPITEL.
Theorie der algebraischen Gleichungen.
§. A- Gleichungen mit eincr Unbckannten. g
81. Einleitende Bemerkungen ug
I. Allgemeine Eigenschaften der algebraischen
Gleichungen.
82. Erklarungen
y83. Jede Gleichung des m^ Grades hat mindestens eine Wurzel 120
84. Ist a eine Wurzel der G1 f(x) =0, so ist/(®) durch x-a. theilbar. Horner's Divisionsmethode 124
85. Jede Gl. des wten Grades hat m Wurzeln. - Folgerungen . . 126
86. Das Gleichungspolynom ist eine stetige Funktion von x. -
Abgeleitete oder derivirte Funktionen 128
87. Die Coefficienten der Gl. sind syinmetrische Funktionen der
Wurzeln 130
88-89. Die imaginaren Wurzeln kommen der Gleichung immer paarweise zu. - Folgerungen 132
90. Umformung einer Gl. in eine andere mit entgegengesetzten
Wurzeln 134
91. Grenzen für die Anzahl der positiven und negativen Wurzeln
einer Gleichung. CartesischeZeichenregel Weitere Folgerungen 135
II. Transformation der Gleichungen.
92. Transformation einer Gl. in eine andere , deren Wurzeln um a
kleiner oder grösser sind, als jene der gegebenen Gl. - Budan's Verfahren. - Wegschaffung eines Gliedes aus einer
Gleichung 139
93. Transformation einer Gl. in eine andere, deren Wurzeln amal
grösser oder kleiner sind. - Anwendungen 142
94. Transformation einer Gl. in eine andere, deren Wurzeln die reciprokén Werthe der Wurzeln der gegebenen Gl. sind . . ¦ 143
III. Von den wiederholten Wurzeln der Gleichungen.
95. Eigenschaften einer Gl. mit wiederholten Wurzeln. - Untersuchung, ob einer Gl. solche zukommen.- Ableit.nng neuer
Gleichungen mit einfachen Wurzeln 143
IV. Ueber die Berechnung symmetrischer Funktionen der Wurzeln.
96-99. Jede rationale, symmetrische Funktion der Wurzeln einer Gl.
lasst sich durch die Coefficienten der Gl. ausdrücken. - Jede
s. Funktion der Wurzeln kann durch blosse Potenzsummen der-k
selben ausgedrückt werden. - Darstellung der direkten und
reciproken Potenzsummen der Wurzeln durch die Coefficienten der Gleichung
V. Auflösung der allgemeinen Gleichungen des öten
un d 4ten Grades, der reciproken und binornischen
Gleichungen. Seite
S. 9'
100. Allgemeine Bemerkungen 156
101-103. a. Gleichungen des 3'en Grades 157
104. b. Gleichungen des 4'™ Grades 165
105. c. Rec.iproke Gleichungen 167
106-109. d. Binomische und trinomisclie Gleichungen 170
VI. Auflösung der numerischen Gleichungen.
110. Einleitende Bemerkungen 174
111. Die Wurzeln einer Gl., deren Coefficienten ganze rationale
Zalilen sind, und in welcher der Coefficient derhöchsten Potenz der Unbekannten = 1 ist, können nur ganze oder irrationale Zahlen sein 175
112. Wenn zwei Zahlen, in das Gleichungspolynom substituirt,
¦ Resultate mit entgegengesetzten Zeichen erzeugen, so liegt.
zwischen denselben mindestens eine reelle Wurzel 175
113-115. Bestimmung der oberen und unteren Grenze der reellen
Wurzeln 176
116-117. Das Aufsuchen der rationalen Wurzeln 180
118. Das Aufsuchen der irrationalen Wurzeln. Trcmmng derselben 183
119. Sturm's Lehrsatz . 185
120. Budan's Lehrsatz 193
Naherungsmethoden zur Berechnung der irrationalen Wurzeln.
121. Newton's Náherungsmethode 195
122-123. Horner's Naherungsmethode 197
124. Die Regula falsi.- Anwendung derselben auf transcendente
Gleichungen . 204
125-127. Berechnung gleicher und nahe gleicher Wurzeln 206
Ti. Gleichungen mit zwei oder mehreren Unbekannten.
128. Erklarungen 212
129-130. Elimination mitllülfe der symmetrischen Funktionen. - Allgemeine Bemerkungen 213
131. Die Eliminationsgleichung, welche aus zwei Gleichungen des
jTjten un(i ?íten Grades hervorg'eht, ist höchstens vom mnte"
Grade 216
132-134. Elimination durch successiveMultiplikation beider Gleichungen, und mit Hiilfe des Verfahrens des grössten gemeinschaftlichen Theilers Ü17
SIEBENTES KAP1TEL.
Ueber die Differenz- und Summenreih en, die arithmetischen Reihen, und über die Interpolation
§. §¦ der Reihen. Seite
135. Erklarungen über die Differenzreihen 220
136-137. Ausdrücke für das lste un(j rte Glied der wten Differenzreihe
und für das nte G-lied der Hauptreihe 221
138. BildungderSummenreihen; Ausdruck für das summatorische
Glied 223
Von den arithmetischen Reihen.
139-140. Erklarungen. - Ausdrücke für das allgemeine und summatorische Glied 225
141-143. Potenzreihen der natürlichcn Zahlen. - Figurirte Zahlenreihen. - Anwendung der Differenzreihen auf die Berechnung von Tafeln 226
Von der Interpolation.
144. Erklarungen 230
145-148. Allgemeine Iuterpolationsformel für gleiche Intervalle des
Argument.es 231
149. Bemerkungen über den Gebrauch matliematischer Tafeln.-
Das umgekehrte Interpoliren für einen gegebenen Werth des
Argumentes 235
150. Lagrange's Interpolationsformel bei nicht gleicbweit abstehenden Werthen des Argumentes 236
ACHTES KAPITEL.
151. I. Ueber die Convergenz unendlicher Faktorenfolgen . . . 238
152-153. II. Darstellung der Sinus und Cosinus durch Faktorenfolgen 242
154. III. Verwandlung der Reihen in Kettenbrüche 248
ZWEITER THEIL.
ANALYTISCHE GEOMETRIE.
I. ABSCHNITT.
ANALYTISCHE GEOMETRIE EN DEK EBENE.
ERSTES KAPITEL.
Bestimmung der Lage eines Punktes. - Coordinatensy steme. - Trans formation der
Coordinaten.
155-157. Parallel- und Polar-Coordinaten eines Punktes . . .
158 -160. Transformation der Coordinaten
161. Entfernung zweier gegebener Punkte
263
265
268
ZWEITES KAPITEL.
§ Von der geraden Linie. Seite.
162-164. Die Gleichung der Geraden. - Verschiedene Formen derselben 2®9
165-174. Aufgaben iiber die gerade Linie 273
DRITTES KAPITEL.
Vom Kreise.
175-176. Die Gleichung des Kreises 281
177-178. Aufgaben iiber den Kreis 283
Verbindung des Kreises mit der Geraden.
179. Bedingung für die Berührung. -Gleichung der Tangente . 287
180. Einige Satze über die Sekante 288
181-182. Die Tangente durch einen ausserhalb des Kreises gelegenen
Punkt 290
183. Aufgabe 293
Verbindung mehrerer Kreise.
184. Bedingungen für das Durchschneiden und Berühren zweier
Kreise 294
185. Ueber die Chordale zweier Kreise 296
VIERTES KAPITEL.
Ueber die Linien zweiter Ordnung überhaupt, oder
über die geometrische Bedeutung der allgemeinen
Gleichung des zweiten Grades zwiscben zwei
veránderlichen Grössen.
186. Allgemeine Bemerkungen über die Eintheilung der Linien 299
187-189. Mittelpunkt der Linien zweiter Ordnung 300
190-191. Durchmesser der Linien zweiter Ordnung 304
192. Hauptdurchmesser 306
193. Transformation der allgemeinen Gleichung des 2'en Grades 309
194. Discussion der Gleichung: Mx2 -+¦ Ny2 - K 310
195. Discussion der Gleichung: Ny2 + 2Rx - 0 314
196. Kriterien zur naherenBestimmung der durch eine Gl. des 2'en
Grades ausgedrückten Curve 315
197. Scheitelgleichungen der Linien 2'er Ordnung 316
198-200. Erzeugung dieser Linien durch den Durchschnitt eines Kreises von veránderlichem Halbmesser und einer beweglichen
Geraden. - Allgemeine Eigenschaften 317
FÜNFTES KAPITEL.
Ueber einige der vorzüglichsten Eigenschaften der
Linien zweiter Ordnung.
I. Die Ellipse.
201-202. Einige Eigenschaften in Bezúg auf die Axen 324
§- Seite.
203-207. Von der Tangente an der Ellipse 326
208-211. Von den Durchmessern der Ellipse 332
212-215. Die Ellipse bezogen auf ein System conjugirter Durchmesser 336
II. Die Hyperbel.
216. Einige Eigenschaften in Bezúg auf die Axen 340
217-220. Yon der Tangente an der Hyperbel. Die Asymtoten . . .342
221-222. Von den Durchmessern der Hyperbel 346
223. Die Hyperbel bezogen auf ein System conjugirter Durchmesser 347
224-225. Die Hyperbel bezogen auf ihre Asymtoten 349
III. Die Parabel.
226-228. Yon der Tangente an der Parabel 353
229. Von den Durchmessern der Parabel 357
230. Die Parabel bezogen auf ein System conjugirter Axen . . 358
SECHSTES KAPITEL.
Ueber die Polargleichungen der Linien zweiter
Ordnung, und über die Bestimmung dieser Curven nach gegebenen Bedingungeu.
231-232. Polargleichungen der Lii^fcn zweiter Ordnung 360
233. Bestimmung dieser Linien nach gegebenen Bedingungeu . 363
SIEBENTES KAPITEL.
Ueber einige algebraische Linien höherer Ordnung
und über einige transcendente Curven.
234. Parabolische Curven. - Parabeln höherer Ordnung . . . 367
235. Cassinische Curven. - Lemniscate 368
236. Die Cissoide 371
237. Die logarithmische Linie (Logistik).-Kettenlinie 372
238-239. Kolllinien. Die gemeine, die gedehnte und verkürzte Cykloide 374
240-241. Die Epicykloide und Hypocykloide 376
242. Die Kreisevolvente 380
243. Spirallinien. Die archimedische, liyperbolische und logaOO-J
rithmische Spirálé
INHALT.
ZWEITER THEIL.
II. ABSCHNITT.
ANALYTISCIIE GEOMETRIE IM RAUME.
ERSTES KAPITEL.
Bestimmung der Lage eines Punktes im Raume. -
Coordinatensysteme. - Transformation der
Coordinaten.
§. Seite
244. Parallel-Coordinaten eines Punktes im Raume. Gleichungen
des Punktes 3
245. Einige Satze über Projectionon 5
246. Polar-Coordinaten eines Punktes im Raume 8
247. Entfernung zweier gegebener Punkte. Neigungswinkel
zweier Geraden im Raume. Folgerungen 9
248. Transformation der Coordinaten 11
249. Allgemeine Bemerkungen über die analytische Darstellung
von Flachen und Linien im Raume 15
ZWEITES KAPITEL.
Von der Ebene und der geraden Linie.
Die Ebene.
250-251. Gleichung der Ebene. Neigungswinkel einer Ebene gegen
die Coordinaten-Ebenen. Besondere Falle der Lage einer
Ebene 18
252. Die Knotenlinien 21
253. Neigungswinkel zweier Ebenen. Folgerungen 21
Die gerade Linie.
254-255. Gleichungen der Geraden im Raume. Neigungswinkel einer
Geraden gegen die Coordinaten-Axen. Besondere Falle der
Lage einer Geraden ^3
256. Durchschnitt und Neigungswinkel zweier Geraden 25
s § keite
257. Neigungswinkel und Durchsehnittspunkt einer G-eraden mit
einer Ebene
258-269. Aufgaben über die gerade Linie und die Ebene
DEITTES KAPITEL.
Von den krummen Flachen im Allgemeinen; den
cylindri seben, conischen, Rotations- und
wiudsehiefen Flachen.
270. Eintheilung der Flachen. Untersuchung ihrer Gestalt durch
ebene Schnitte 37
271. Eine Flache ist analytiscli durch ihre Gleichung, geometrisch durcli eine charakteristische Eigenschaft, oder endlich durch die Art ihrer Erzeugung durch Bewegung einer
Curve im Raume nach einem bestimmten Gesetze definirt.
Die Kugelflache 39
272. Ableitung der Gleichung einer Flache aus den Gleichungen
der erzeugenden Linie und ihrem Bewegungsgesetze 40
273-274. Allgemeine Gleichung der eylindrischen Flachen. Beispiele. 42
275-276. Allgemeine Gleichung der Kegelfláchen. Beispiele 44
277. Durchsehnitt eines elliptischen oder Kreiskegels mit einer
Ebene 46
278-279. Allgemeine Gleichung der Rotationsfliichen. Beispiele ... 47
280. Windschiefe Flachen. Beispiele 51
281. Die Schraubenlinie und Schraubenfliiche 53
VIERTES KAPITEL.
Von den Flachen der zweiten Ordnung.
282. Gegenstand der Untersuchung 54
283-284. Mittelpunkt der Flachen 2. Ordnung. Eintheilung dieser
Flachen in solche mit und ohne Mittelpunkt 55
285. Diametral-Ebenen und Durchmesser der Flachen 58
286-290. Hauptebenen 60
291. Transformation der allgemeinen Gleichung des 2. Grades
auf ihre einfachsten Formen
292-293. Diskussion der Gleichung Px2 + P'y2 + P" z2 = K. - Das
Ellipsoid G9
294-295. Fortsetzung. - Das Hyperboloid mit einer Hölung 71
296-297. Fortsetzung. - Das Hyperboloid mit zwei Hölungen 74
298. Diskussion der Gleichung: P'y2 + P"zl= Qx. - Das elliptische Paraboloid 75
299. Fortsetzung. - Das hyperbolische Paraboloid 77
300-301. Von den ebenen Schnitten der Flachen zweiter Ordnung.
Die Flachen mit Mittelpunkt '
302. Fortsetzung. - Die Flachen ohne Mittelpunkt
§. §. Seite
303-304. Fortsetzung. - Dio geradlinigen Schnitte des Hyperboloides mit einer Hölung'und des hyperbolischen Paraboloides. 84
305. Niihere Bestimmung der durcli eine gegebene Gleichung
des 2. Grades ausgediückten Flache 89
DRITTER THEIL.
DIFFEEENZIAL- UND 1NTEGRALKECIINUNG.
I. ABSCHNITT.
DIFFERENZIALRECHNUNG.
ERSTES KAPITEL.
G r u n d b eg ri ffe der Di ffer enzi alrechnung. -
D i f f e r e n z i a t i o n der Funktionen einer und
mehrerer veranderlichen Grössen.
306-307. I. Grundbegriffe der Differenzialrechnung 97
308-312. II. Differenziation der einfachen Funktionen: xm,ax,logx,
sin x, cos a, arc sin a;, arc cos a; 101
313-315. III. Differenziation der Funktionen von Funktionen und der
zusammengesetzten Funktionen. Allgemeine Satze 105
316-317. Fortsetzung.- Differenziation der Funktionen: tgx, u. s. w.
Beispiele 109
318. IV. Differenziation der Funktionen von mehreren unabhiingigen Veranderlichen 112
319. Fortsetzung. - Lehrsatz von deu homogenen Funktionen . 114
320-321. V. Differenziation der unentwickelten Funktionen 116
ZWEITES KAPITEL.
Von den höheren Differenzialien und Differenzialquotienten der Funktionen.
322-323. 1. Höliere Differenzialien der Funktionen einer Variablen . 119
324-325. II. Höhere Differenzialien der Funktionen von Funktionen
und der zusammengesetzten Funktionen 122
326-327. III. Ilöhere Differenzialien der Funktionen von mehreren
veranderlichen Grössen 125
328-329. IV. Höhere Differenzialien der unentwickelten Funktionen . 129
330-331. Fortsetzung. - Elimination constanter Parameter aus der
primitíven Gleichung und iliren Differenzialgleichungen.
Geometrische Bedeutung
332-334. V. Vertauschung der unabhangigen Veranderlichen 135
335-338. VI. Beziehungen, welche zwischeu den Funktionen einer
Veranderlichen und iliren Differenzialquotienten der verschiedenen Ordnungen stattfinden . ®.a 142
DRITTES KAPITEL.
Entwickelung der Funktionen in Reihen.
§. §. . Seiio
339_340. 1. Der Taylor'sche und Maelaurin'sche Lehrsatz für die
Funktionen einer veranderliehen Grösse
341-342. Fortsetzung. - Beispiele. - Ausnahmefalle 155
343-344. II. Der Taylor'sche und Maelaurin'sche Lehrsatz für Funktionen mehrerer Veranderliehen 154
345-346. Hl. Die Umkehiungsformel von Lagrange
347. Fortsetzung. - Anwendung dos Lagrange'schen Theorems
zur Umkehrung der Reihen H55
348. Verschiedene Reilienentwickelungen 166
VIERTES KAPITEL.
Ueber die Ausmittelung des waliren Werthes von
Grössen, welche sich unter unbestimmten
Formen: ^-,-55-1 u- s' w- darbieten.
349. Auswerthung der [Form: 171
350. Auswerthung der Formen: cc - 00 , 0- co > u- s- w- . . . 172
351. Besondere Fálle 174
FÜNFTES KAPITEL.
Ueber die grössten und kleinsten Werthe der
Funktionen.
352-354. 1. Maxima und Minima der Funktionen von einer veranderliehen Grösse 175
355-356. II. Maxima und Minima der Funktionen mit mehrereu veranderliehen Grössen 182
357. III. Maxima und Minima mit Nebenbedingungen (Relative
Maxima und Minima) 187
SECHSTES KAPITEL.
Anwendungen der Differeuzialrechnung auf die
Theorie der ebe ne n Curven.
I. Von den Tangentcn, Normalen und Asymtoten cbener Curven. -
Diffcrenzial des Bogens und der Flache.
358-360. Gleichungen der Tangente und Normálé 191
361. Von den Asymtoten 195
362-363. Diffcrenzial des Bogens und der Flache '98
364-367. Ausdrücke in Polarcoordinaten
II. Von den Berührungen der vcrseliicdcnen Ordmmgen zwischen
ebenen Curven.
368. Bedingungeu dor Berührungen von versehiedener Ordnung 204
369. Aufgaben -07
III. Krümmung der ebenen Curvcn. - Krümmungskreis und Kriimniungshalbmesser. - Evoluten.
§. §. Seite
370-372. Maass der Krümtnung. - Krümmungskreis und Kriiminungshalbmesser 209
373. Ausdruck des Krümmungshalbmessers in Polarcoordinaten 216
374-375. Evoluten 217
IV. Von den einhüllenden Curven.
376-378. Definition der einhüllenden Curve. - Gleichung derselben 222
V. Von den besonderen Punkten der cbenen Curven.
379. Concavitat und Convexitat der Curven gegen die Abscissenaxe 226
380 Beugungspunkte 227
381. Kückkebrpunkte oder Spitzen 229
382. Vielfache Punkte 231
383. Conjugirte Punkte 234
SIEBENTES KAPITEL.
Elemente der Theorie der Curven von doppelter
Krümmung.
I. Von den Tangenten und Normalebenen doppelt gekrümmter Curven.
384. Gleichung der Tangente und Normalebene 235
385. Differenzial des Bogens 237
II. Ueber die Berührungen der Curven von doppelter Krümmung.
386. Bedingungen der Berührungen verschiedener Ordnung
zwischen zwei Curven 238
387. Berührungen zwischen einer Curve und einer Ebene. Krümmungsebene 240
III. Ueber die Krümmung der Curven von doppelter Krümmung.
388. Erste und zweite Krümmung einer Curve. Maass derselben 242
389-391. Halbmesser und Mittelpunkt der ersten Krümmung. Krümmungskreis 243
392. Halbmesser der zweiten Krümmung 248
393. Die Schraubenlinie 249
ACHTES KAPITEL.
Elemente der Theorie der krummen Flachen.
I. Ueber die tangirenden Ebenen und Normalen.
394. Gleichung der Berührungsebene 251
395. Gleichungen der Normálé. Normalebenen und Normalschnitte 253
II. Ueber die Berührungen von verschiedener Ordnung
zwischen krummen Eláohen.
396. Bedingungen der Berührungen verschiedener Ordnung zwischen zwei krummen Flachen 254
397-398. Berührungen einer krummen Flache mit einer Kugel 257
III. Ueber die Kriimmung der Flachen.
5 399. Hauptschnitte und Hauptkrümmungshalbmesser
400. Krüinmungshalbmesser eines beliebigen Normalschnities.
Beziehungen zwischen den Krümmungshalbmessern verscliiedener Normalechnitte ,263
401. Allgemeiner Ausdruck für die Hauptkrümmungshalbmesser . 264
402. Nahere Erörterung derKrümmung der Flachen in einem gegebenen Punkte. Nabelpunkte 265
403. Beispiel. Das Ellipsoicl und Spharoid 266
404. Krümmungslinien 269
405. Niveaulinien und Linien des starksten Falles 271
IV. Erzeugung der Flachen. Von den einhüllenden und
abwickelbaren Flachen.
406. Difíerenzialgleichungen der Cylinder-, Kegel- und Rotationsflachen und deren geometrische Bedeutung 273
407-408. Von den einhüllenden Flachen 276
409. Von den developpablen Flachen. Verschiedene Arten der
Erzeugung derselben 281
410. Gleichungen der developpablen Flachen 282
411. Die abwickelbare Schraubenflache 284
II. ABSCHNITT.
INTEGRALRECHNUNG.
ERSTES KAPITEL.
Integration der entwickelten Funktionen einer
veranderliehen Grösse.
I. Grundbegriffe und Fundamentalsatze der Integralrechnung.
412-413. Das unbestimmte und bestimmte Integrál. Geometrische
Bedeutung desselben 287
414. Grundformeln der Integralrechnung 292
415. Integrationsmethoden: 1) durch Substitution, 2) durch Zerlegung, 3) durch theilweise Integration 294
416. Integration durch Reihen 296
II. Integration der algebraischen rationalen Differenziale.
417. Integration rationaler, ganzer Differenzialausdrücke 299
418-422. Integration rationaler, gebrochener Differenzialausdrücke.
Zerlegung in Partialbrüche 301
,1W Tv r * i f Adx C Adx [(Ax + B)dx
423. Die Integra e: -:-> \----, i-, ¦
fc J x + a J (x+a)m J (x-ct) + p*
f (Ax + B)dx 310
J [(«-«)2 + /S2]™
424. Die Integrale: f 2, 313
ö J a + bx + cx2 J a + ox+ c%'
425. Reductionsformeln für das Integrál: L-- f^^ a,,„ • 314
III. Integration der algebraischen irrationalen Differenziale.
%. §. Seite
426. Integration von Differenzialformcln mit Wurzelgrössen des
1. Grades 318
427. Methoden, die Differenzialfunktion: j/a + bx + cx3)dx
rational zu maehen 319
r dx
428. Das Integrál: 7- -„¦ Specielle Fal le 321
(/ 1/ Cl -p OX ~T" CX
429. Reduetionsformeln für die Integrale: J x«XvfXdx,
u. 8. w., wenn Xqjga + bx + <ae» 323
430-431. Reduetionsformeln für die binoinischen Integrale. Anwendung auf einige haufig vorkonunende Integrale 325
432. Integration durch Reihen 331
IY. Integration der transcendenten Differenziale.
433. Integration von Differenzialien mit Exponentialgrössen . . . 333
434. Integration von logarithmischen Differenzialien 335
435-439. Integration goniometrischer und cyklometrischer Differenzialien 337
V. Integration der höheren Differenzialausdrücke mit einer Veranderliehen und der partiellen Differenzialien von Funktionen
mehrerer veranderliehen Grössen.
440. Integration der höheren Differenzialien von Funktionen
einer veranderliehen Grösse 347
441. Integration partieller Differenzialien von Funktionen mehrerer Variablen 348
ZWEITES KAPITEL.
Von den bestimmten Integralen.
442. Haupteigenschaften der bestimmten Integrale 350
443. Substitution neuer Variablen in bestimmte Integrale. Aenderung der Grenzen 354
444. Betraehtung des Falles, wenn die Differenzialfunktion innerhalb der Integrationsgrenzen eine Unterbrechung der Stetigkeit erleidet 359
445. Ableitung bestimmter Integrale aus den allgemeinen 360
446. Auswerthung bestimmter Integrale durch Differenzjation
unter dem Integralzeichen 365
447. Auswerthung bestimmter Integrale durch Integration unter
dem Integralzeichen 370
448. Die bestimmten Doppel- und vielfachen Integrale 373
n 00 pt
449. Die Integrale: e-^dx und e-^dx 377
J 0 J 0
450. Ausmittelung verschiedener bestimmter Integrale 381
451. Ableitung der Taylor'sehen und Maclaurin'schen Reihe
mittelst bestimmter Integrale . 383
§. §• Seite
452-453. Níiherungsweise Ausmittelung bestimmter Integrale. (Naherungsweise Quadratur) 3g5
454. Anwendung der vorhergehenden Methoden zur náherungsweisen Bereelinung der Summe: F(a) + F(a + h) 4.
Fia +2h) + + F(a + nh) 393
DRITTES KAPITEL.
Anwendung der Integralrechnung auf die Ausmessung der Linien, Flachen und Körper.
I. Quadratur der ebenen Curven.
455-456. Ausdruek der Flache in rechtwinkligen und Polarcoordinaten. Beispiele 397
457. Besondere Falle. Allgemeinster Ausdruek der Flache 402
458. Níiherungsweise Berechnung des Flaeheninhalt.es 403
II. Reetifikation der Curven.
459. Reetifikation der ebenen Curven. Beispiele 404
460. Reetifikation der Curven von doppelter Krümmung 411
ül. Complanation der Flachen.
461. Complanation der Rotationsfláchen 413
462.tAllgemeine Complanation der Flachen 417
463. lieduction der Doppelintegrale durch Substitution neuer
Veranderliehen 419
464. Allgemeine Complanationsformel in Polareoordinaten 421
465. Complanation des elliptisclien Kegels 423
IV. Cubatur der Körper.
466-467. Einfachste Falle. Cubatur der Rotationsflachen 425
468. Allgemeine Ausdrücke für den Rauminhalt 427
469. Reduction dreifacher Integrale durch Substitution neuer
Veranderliehen 429
470. Ausdruek des Volums in Polareoordinaten 431
VIERTES KAPITEL.
Weitere Untersuehungen über bestimmte
Integrale.
I. Die periodischen Reihen von Fouricr und Lagrange.
471-473. Entwickelung der periodischen Reihen 434
474. Ausdehnung derselben auf bcliebige Grcnzen der veranderliehen Grösse 441
475. Beispiele 443
II. Die Fourier'schen Formeln.
476. Ableitung der Fourier'schen Formeln. Anwendung derselben 444
III. Die Euler'schen Integrale.
477. Haupteigenschaften der Gamma- und Betnfunktion. Beziehung zwischen denselben
478. Relation zwischen zwei Gammafuuktionen 450
i. s. _ „ Seil°
479. Entwickelung von Reihen zur Berechnung der Gammafunktionen 452
480-481. Reduction bestimmter Integrale anf Gammafunktionen . . . 455
IV. Der Integrallogarithmus, Integralsinus und Integralcosinus.
482 Reihenentwiekelungen für den Integrallogarithmus . ... 459
483. Reihen für den Integral-Sinus und Cosinus 462
V. Die elliptischen Integrale.
484. Definitionen und allgemeine Eigensebaften 463
a) Die elliptischen Integrale erster Art.
485. Das Additions-und Subtractionstheorem 465
486. Das Multiplications- und Divisionstheorem 468
487. Die elliptischen Funktionen 470
488. Relation zwischen zwei elliptischen Integralen erster Art von
verschiedenem Modulus und verschiedener Amplitude 471
489. Naherungsweise Berechnung der elliptischen Integrale
erster Art 472
b) Die elliptischen Integrale zweiter Art.
490. Das Additionstheorem 475
491. Relation zwischen den elliptischen Integralen erster und
zweiter Art 476
492. Naherungsweise Berechnung der elliptischen Integrale
zweiter Art 477
493. Anwendungen auf die Rectifikation der Ellipse, Hyperbel
und Lemniscate 480
e) Die elliptischen Integrale dritter Art.
494- Das Additionstheorem ' 483
495. Relationen zwischen diesen Integralen mit jenen erster und
zweiter Art 484
496. Naherungsweise Berechnung der elliptischen Integrale
dritter Art 487
d) Integration von Differenzialformeln, welche eiiie Wurzelgrösse aus einem Polynomc 4len Grades enthalten.
497. Reduction des Integrals: Jf(;c, f/^Rwo R=a+bx + cx'2+
f Pdx
dx3 + ex*, auf die Form: . , wo P eine geJya + pxz + yx*
rade Function von x ist 491
498. Reduction des Integrals: f Pdx , _ ,
b -- auf die Integrale:
Jyce + fix' + yx*
í1 dx Cx'dx r dx
Jj/B' JyW' J(x2-a) j/ii '
wo B=* a + px' + yx* . 494
499. Reduction dieser drei Integrale auf elliptische Integrale . . 497
500. Erörterung des Falles, wenn beide quadratische Faktorén
desTrinoms: Ji=a + p%2 + yx* iinagiuar sind . 501
FUNFTES KAPITEL.
Integration der Differenzialgleiehungen.
I. Von den Differenzialgleiehungen erster Ordnung zwischen
zwei veranderliehen Grössen.
§• §• Seite
501. Erklarungen. Allgemeine, particulare und singulare Integrálé
502. Construetion der Differenzialgleiehungen. Geometrische Bedeutung 505
503. Integration der Differenzialgleichung: Pdx + Qdy-0, wenn
dieselbe ein vollstandiges Differenzial ist •• ... 507
504-505. Integration durch Trennung der Variablen. Die lineare
Differenzialgleichung l^r Ordnung 509
506. Integration der homogenen Differenzialgleiehungen 513
507-508. Integration mittelst des integrirenden Faktors 514
509-511. Integration der Differenzialgleiehungen lter Ordnung von
hÖherem Grade 518
512. Integration durch Reihen 523
II. Von den Differenzialgleiehungen höherer Ordnung zwischen
zwei veranderliehen Grössen.
513-514. Erklarungen. Geometrische Bedeutung 525
515. Integration einiger der einfachsten Formen 528
516. Die linearen Differenzialgleiehungen nter Ordnung ohne
zweiten Theil. Bildung des allgemeinen Integrals aus
n particularen Integralen 533
517. Die Kenntniss von m particularen Integralen gestattet die
Reduction einer linearen Differenzialgleichung r Ordnung
auf eine solche von der Ordnung (n-m) 534
518. Integration der linearen Differenzialgleiehungen mit constanten Coefficienten 536
519. Integration der Gleichung:
(a + + + k)"-1!/^-!) +____+ Any = 0 539
520. Integration der linearen Differenzialgleichung ?íter Ordnung
mit linearen Coefficienten:
(an + bnx)y(n) 4. 4. :B)2,(«-i):+ + (a0 + box)y=0 540
521-524. Integration der Gleichung 2ter Ordnung:
(®2 + hx)y"+ (a, 4- J, X)y + (a0 4. büx)y=0 544
525. Integration der Gleichung:
x2y" + x{ax + b\Xm)y'(a0 + b0x™ + c0x2™)y = 0,
und der Riccati'schen Gleichung 566
526. Integration der completen linearen Differenzialgleiehungen
(mit zweitem Theil). Variation der arbitraren Constanten . . 569
527. Anwendung dieser Methode auf die Completirung unvollstandiger Integrale 572
III. Von den besonderen Auflösuiigen der Differenzialgleiehungen.
528. Ableitung der besonderen Auflösung aus dem allgemeinen
§. §. _ Seite
529. Entwickelung der besonderen Auflösung in dem Falle, wenn
das allgemeine Integrál nicht bekannt ist 576
IV. Von den gleichzeitigen (simultanen) Differenzialgleiehungen.
530. Erklarungen. - Die Integration eines Systems gleichzeitiger
Differenzialgleiehungen kann auf die Integration einer Differenzialgleichung mit nur zwei Variablen zurückgeführt
werden. Reduction eines Systems gleichzeitiger Differenzialgleiehungen höherer Ordnung auf ein anderes Der Ordnung 578
531. Integration der linearen gleichzeitigen Differenzialgleiehungen ltef Ordnung 581
532. Integration der linearen gleichzeitigen Differenzialgleiehungen mit constanten Coefficienten 582
V. Totale Differenzialgleiehungen mit mehreren veranderliehen
Grössen.
533. Integration der Gleichung: PclxQdyRclz = 0, wenn die
linké Seite ein vollstandiges Differenzial ist 586
534. Integration der Gleichung: Pdx + QdyEdz = 0, wenn die
linké Seite kein vollstandiges Differenzial ist. Bedingung
der Integrabilitat . , 588
VI. Von den partiellen Differenzialgleiehungen.
535. Erklarungen. Geometrische Construction einer partiellen
Differenzialgleichung 592
536-537. Integration der partiellen Differenzialgleiehungen lter Ordnung mit drei veranderliehen Grössen 594
538. Ausdehnung dieses Verfahrens auf Gleichungen mit einer
beliebigen Anzahl von Variablen 600
539. Integration der partiellen Differenzialgleiehungen lter Ordnung mit drei Veranderliehen und höheren Potenzen der
partiellen Differenzialquotienten . 600
540. Integration der linearen partiellen Differenzialgleiehungen
mit constanten Coefficienten 604
541-544. Beispiele 607

Témakörök