Matematika-3

Tartalom

I. RÉSZ
DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
ELSŐ FEJEZET. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 1
1.1. A differenciálegyenlet fogalma és osztályozása 1
1.1.1. A differenciálegyenlet 1
1.1.2. A kvadratúra 2
1.1.3. A differenciálegyenletek osztályozása 3
1.2. A differenciálegyenlet megoldása 5
1.2.1. A megoldás fogalma és létezése 5
1.2.2. A differenciálegyenletek megoldásának módszerei 8
1.3. Elsőrendű differenciálegyenletek 10
1.3.1. Szétválasztható változójú differenciálegyenlet 10
1.3.2. Változókban homogén differenciálegyenlet 12
1.3.3. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet 14
1.4. Másodrendű differenciálegyenletek 18
1.4.1. Általános ismeretek 19
1.4.2. Hiányos másodrendű differenciálegyenletek 20
1.4.3. A másodrendű lineáris differenciálegyenlet 23
1.4.3.1. A homogén egyenletre vonatkozó tételek 24
1.4.3.2. Az állandó együtthatós, homogén egyenlet megoldása 25
1.4.3.3. Az inhomogén lineáris differenciálegyenlet 28
1.4.3.4. Az állandó együtthatós, inhomogén egyenlet megoldása 29
1.4.3.5. Néhány gyakorlati feladat 33
1.5. Magasabbrendű, állandó együtthatós differenciálegyenletek 36
Az első fejezet Összefoglalása 38
Feladatok 39
MÁSODIK FEJEZET. PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 41
2.1. Alapfogalmak 41
2.1.1. Definíció 41
2.1.2. Az osztályozás szempontjai 41
2.1.3. A parciális differenciálegyenlet megoldása 42
2.2. Másodrendű parciális differenciálegyenletek 44
2.2.1. Osztályozás 44
2.2.2. Kanonikus alakok 45
2.2.3. Néhány gyakorlati alkalmazás 46
2.2.3.1. Hiperbolikus egyenlet 46
2.2.3.2. Parabolikus egyenlet 47
2.2.3.3. Elliptikus egyenlet 48
A második fejezet összefoglalása 49
II. RÉSZ
A HÁROMDIMENZIÓS TÉR ANALÍTIKUS
GEOMETRIÁJA. VEKTOROK
1. A vektor értelmezése 51
2. Műveletek vektorokkal 52
3. Vektorok lineáris függetlensége 55
4. Vektor megadása koordinátákkal 56
5. Vektorműveletek koordinátás megadás esetén 57
6. A bázisvektorok megválasztása 62
7. Geometriai alakzatok megadása vektorokkal 63
8. Néhány geometriai feladat 67
Miről szólt ez a fejezet? 75
Feladatok 81
Megoldások 82
III. RÉSZ
LINEÁRIS ALGEBRA
ELSŐ FEJEZET. n-DIMENZIÓS VEKTOROK 85
1.1. A vektor fogalma 8 5
1.2. Speciális vektorok 86
1.3. Műveletek vektorokkal 87
1.4. Vektorok lineáris kombinációja 89
1.5. Vektorok lineáris függetlensége 90
Miről szólt ez a fejezet? 93
Feladatok 94
Megoldások 94
MÁSODIK FEJEZET, MÁTRIXOK 95
2.1. A mátrix értelmezése
2.2. Műveletek mátrixokkal 98
2.3. Elemi transzformációk 102
2.4. Mátrix determinánsa 105
2.5. A mátrix rangja 111
2.6. Négyzetes mátrix inverze 113
Miről szólt ez a fejezet? 118
Feladatok 121
Megoldások 122
HARMADIK FEJEZET. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 124
3.1. A lineáris egyenletrendszer fogalma 124
3.2. A lineáris egyenletrendszer megoldhatósága 126
3.3. A Cramer-szabály 127
3.4. A Gauss-féle módszer 129
3.5. Az egyenletrendszer megoldása elemi
transzformációk alkalmazásával 13 3
3.6. Homogén lineáris egyenletrendszerek 136
Miről szólt ez a fejezet 139
Feladatok 141
Megoldások 142
NEGYEDIK FEJEZET. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS 143
4.1. A lineáris programozás matematikai modellje 143
4.1.1. A probléma felvetése 143
4.1.1.1. Egy termelési terv 144
4.1.1.2. Egy általános termelési modell 146
4.1.2. A matematikai modell és néhány tulajdonsága 149
4.1.2.1. A célfüggvény 149
4.1.2.2. A feltételrendszer mint n-dimenziós poliéder 149
4.1.2.3. A matematikai modell más alakjai 150
4.1.2.4. A feltételrendszer átalakítása 151
4.1.2.5. A lineáris programozási modellel kapcsolatos fogalmak és tételek 153
4.1.2.6. A lineáris programozási modell megoldási elve 158
4.1.2.7. A geometriai interpretáció 158
4.2. A szimplex módszer 163
4.2.1. A szimplex módszer alaplépései 164
4.2.1.1. Áttérés új bázismegoldásra 164
4.2.1.2. Az optimális báziscsere kritériuma 167
4.2.1.3. Az optimum-kritérium 168
4.2.1.4. A szimplex módszer váza 170
4.2.1.5. Az indulómegoldás 171
4.2.2. A szimplex-algoritmus 172
A negyedik fejezet összefoglalása 180
Feladatok 182
Irodalomjegyzék

Témakörök