Ábrázoló geometria

Tartalom

ELŐSZÓ 9
BEVEZETÉS 11
1. Mivel foglalkozik az ábrázoló geometria? 11
2. Mi az ábrázolás célja? 11
3. Milyen eljárást értünk a szerkesztésen? 11
4. Euklideszi (egzakt) szerkesztés 11
5. Jelölések 11
6. Az ábrázoló geometria módszere 12
1. ÁBRÁZOLÁS RENDEZETT MERŐLEGES VETÜLETEKEN 14
1.1. A képsíkrendszer 14
1.2. A tér leképezése 14
1.3. Pont ábrázolása 15
1.4. Fedőpontok 16
1.5. A pont visszaállítása (rekonstrukciója) 16
1.6. Pont ábrázolása több rendezett nézeten 17
1.7. Egyenes ábrázolása 20
1.8. Az egyenes visszaállítása (rekonstrukciója) 20
1.9. Az egyenes nyompontjai 21
1.10. Különleges helyzetű egyenesek 21
1.11. Két egyenes kölcsönös helyzete 23
1.12. Sík ábrázolása 24
1.13. A sík visszaállítása (rekonstrukciója) 24
1.14. Különleges helyzetű síkok 24
1.15. Ideális térelemek 25
2. HELYZETGEOMETRIAI FELADATOK 26
2.1. Térelemek összekötése 26
2.2. Térelemek illeszkedése 26
2.2.1. Pont illesztése egyenesre 26
2.2.2. Egyenes illesztése síkra 28
2.2.3. Pont illesztése síkra 28
2.2.4. A sík különleges egyenesei 29
2.2.5. A sík különleges egyeneseinek ábrázolása 29
2.3. Párhuzamos térelemek 31
2.4. Térelemek metszése 32
2.4.1. Sík és egyenes metszése 32
2.4.2. Sík és egyenes döféspontjának szerkesztése 33
2.4.3. Két sík metszésvonala 34
2.4.4. Feladat: Két síkidom metszése 34
3. KÉPSÍKRENDSZER TRANSZFORMÁCIÓ 36
3.1. Új képsík bevezetése 37
3.2. A képsíktranszformáció szerkesztési lépései 37
3.3. A képsíkrendszer transzformáció célja 28
3.4. Egyenes transzformálása különleges helyzetekbe 39
3.5. Sík transzformálása különleges helyzetekbe
4. A KÉPSÍKTRANSZFORMÁCIÓ NÉHÁNY ALKALMAZÁSA 40
4.1. Testábrázolás képsíktranszformációval 40
4.1.1 Feladat: Gúla ábrázolása (a magasságvonalának transzformálásával) 41
4.1.2. Feladat: Hasáb ábrázolása (az alapsík transzformálásával) 41
4.2. Távolságfeladatok megoldása képsíktranszformációval 42
4.2.1. Két pont távolsága 42
4.2.2. Pont és egyenes távolsága 43
4.2.3. Pont és sík távolsága 44
4.2.4. Sík és vele párhuzamos egyenes valamint két párhuzamos sík távolsága 44
4.2.5. Két kitérő egyenes távolsága 45
4.2.6. Két kitérő egyenes normáltranszverzálisának szerkesztése 46
5. SÍK FŐÁLLÁSBA FORDÍTÁSA, A SÍK LEFORGATÁSA 47
5.1. Pont tengely körüli forgása 47
5.2. Sík beforgatása az első képsíkba 47
5.3. A forgatás szerkesztésének lépései 48
5.4. Általános helyzetű sík képsíkba forgatása 48
5.5. Általános helyzetű sík főállásba forgatása 48
5.6. Különleges esetek: vetítősíkok leforgatása 49
5.7. Affinitás 49
5.7.1. Megfelelő pontpár szerkesztése egy adott tengelyes affinitásban 50
5.8. A sík visszaállítása főállásba fordítás után 51
5.9. Feladat: Síkidom ábrázolása leforgatás segítségével 52
6. MERŐLEGES TÉRELEMEK 53
6.1. Síkra merőleges egyenes ábrázolása 53
6.2. Egyenesre merőleges sík ábrázolása 53
6.3. Egyenesre merőleges egyenes ábrázolása 54
6.4. Síkra merőleges sík ábrázolása 55
7. MÉRETFELADATOK, TÉRELEMEK SZÖGE 56
7.1. Két egyenes szöge 56
7.2. Sík és egyenes szöge 56
7.2.1. Feladat: Sík és egyenes szögének szerkesztése 57
7.3. Két sík szöge 58
7.4. Képsíkszögek 58
7.4.1. Egyenes képsíkszöge
7.4.2. Sík képsíkszöge 59
7.5. Merőleges térelemek és forgatás alkalmazása 60
7.5.1. Két kitérő egyenes normáltranszverzálisa 60
7.5.2. Normáltranszverzális szerkesztése új képsík bevezetése nélkül 60
7.5.3. Feladat: Kocka ábrázolása 61
8. POLIÉDEREK 63
8.1. A poliéder meghatározása 63
8.2. Poliéderek, síklapú testek ábrázolása 63
8.3. A hasáb 63
8.4. A gúla 64
8.5. Gúla és hasáb döfése egyenessel 65
8.5.1. Gúla metszése egyenessel 65
8.5.2. Hasáb metszése egyenessel 66
8.6. Gúla és hasáb metszése síkkal 67
8.6.1. Gúla metszése vetítősíkkal 67
8.6.2. Hasáb metszése vetítősíkkal 68
8.7. Centrális kollineáció a gúla síkmetszetei között 69
8.8. Gúla síkmetszése centrális kollineációval 70
8.9. A centrális kollineáció és különleges esetei 71
8.10. Tengelyes affinitás a hasáb síkmetszetei között 72
8.11. Gúla metszése általános helyzetű síkkal 72
8.12. Csonkolt gúla palástjának kiterítése 72
9. KÖR ÁBRÁZOLÁSA 74
9.1. Kör meghatározása 74
9.2. Vetítősíkra illeszkedő kör ábrázolása, az ellipszis mint a kör affm képe 74
9.3. Az ellipszisről 75
9.4. Simulókörök szerkesztése az ellipszis tengelyeinek végpontjaiban 76
9.5. Általános helyzetű síkban fekvő kör ábrázolása 76
9.6. Feladat: Kör ábrázolása síkjának leforgatásával 76
9.7. Rytz-szerkesztés 78
9.8. Ellipszispontok készítése "a+b" papírcsíkos módszerrel 79
9.9. Feladat: Kör ábrázolása 80
10. KÖR ÉS ELLIPSZIS AFFIN KAPCSOLATA 81
10.1. Ellipszispontok szerkesztése 81
10.2. Ellipszishez adott pontjában érintő szerkesztése 82
10.3. Ellipszis és egyenes metszéspontjainak megszerkesztése 83
10.4. Ellipszishez adott irányú érintő szerkesztése 83
10.5. Ellipszishez adott külső pontból érintő szerkesztése 84
11. GÖRBÜLT FELÜLET ÁBRÁZOLÁSA 85
11.1. Felület kontúrja, képhatára 85
11.2. Felület érintősíkja és normálisa 85
11.3. Felület és egyenes metszése 85
12. GÖMB 86
12.1. Gömb meghatározása és ábrázolása 86
12.2. Gömb metszése vetítősíkkal 87
12.3. Gömb metszése általános helyzetű síkkal 88
12.4. Gömb metszése egyenessel 89
13. FORGÁSHENGER 91
13.1. A forgáshenger meghatározása és ábrázolása 91
13.2. Az ellipszis fókuszra vonatkozó definíciója 92
13.3. Forgáshenger síkmetszete ellipszis 92
13.4. Forgáshenger síkmetszetének érintője 93
13.5. Forgáshenger metszése általános helyzetű síkkal 93
13.5. Henger döfése egyenessel 95
14. FORGÁSKÚP 96
14.1. Kúp származtatása 96
14.2. Forgáskúp érintősíkja és normálisa 96
14.3. Forgáskúp ábrázolása 97
14.4. Forgáskúp normálisának szerkesztése normálkúp segítségével 98
14.5. Kúp döfése egyenessel 98
14.6. A forgáskúp síkmetszetei: kúpszeletek 99
14.7. Forgáskúp ellipszismetszete 100
14.8. A parabola definíciója és néhány tulajdonsága 102
14.9. Forgáskúp parabolametszete 102
14.10. A hiperbola definíciója és néhány tulajdonsága 104
14.11. Forgáskúp hiperbolametszete 106
15. HENGEREK, KÚPOK ÉS GÖMB ÁTHATÁSAI 108
15.1. Az áthatás elemzése 108
15.2. Az áthatási pontok szerkesztésének módszerei 110
15.3. Az áthatási görbe érintője 111
15.4. Az áthatás szerkesztésének algoritmusa 111
15.5. Kitérő tengelyű forgáshengerek áthatása 112
15.6. Forgáshengerek áthatása 113
15.7 Forgáskúp és forgáshenger áthatása 114
15.8. Forgáskúp és forgáshenger néhány különleges áthatása 115
15.9. Forgáskúp és forgáshenger két ellipszisre széteső áthatása 116
15.10. Gömb és forgáshenger áthatása 116
15.11. Áthatási pontok szerkesztése sorozással, közös alapsík esetén 118
15.12. Áthatási pontok szerkesztése sorozással, különböző alapsíkok esetén 121
15.13. Szeletelés gömbökkel 124
15.13.1. Metsző tengelyű forgáshengerek áthatása 124
15.13.2. Metsző tengelyű forgáskúp és forgáshenger áthatása 126
16. ÁLTALÁNOS AXONOMETRIA 127
16.1. Axonometrikus kép szerkesztése vetítéssel 127
16.1.1. Alapelemek ábrázolása 130
16.1.2. Illeszkedési és metszési feladatok általános axonometriában 132
16.2. Axonometrikus kép szerkesztése tengelyek menti léptékek készítésével 133
16.3. Axonometrikus kép előállítása Eckhart-féle összemetszéssel 134
17. MERŐLEGES AXONOMETRIA 135
17.1. A merőleges axonometria létrehozása vetítéssel 135
17.2. Nyomháromszög 135
17.3. Koordinátasík beforgatása az axonometrikus képsíkba 136
17.4. Koordinátatengelyek menti rövidülések szerkesztése 136
17.5. Visszaállítás (Rekonstrukció) 136
17.6. Koordinátasíkokra illeszkedő körök ábrázolása 136
17.7. Feladat: Alkatrész ábrázolása merőleges axonometriában 138
17.8. Merőleges axonometria és a Monge-féle ábrázolás összekapcsolása 139
17.9. Feladat: Két pont távolságának szerkesztése merőleges axonometriában 139
18. FERDE VETÍTÉSŰ AXONOMETRIÁK 140
18.1. Frontális axonometria 140
18.1.1. Frontális axonometria meghatározó elemeinek rekonstrukciója 141
18.1.2. Koordinátasíkok beforgatása az axonometrikus képsíkba 141
18.1.3. Frontális axonometria és rendezett nézetek összekapcsolása 142
18.1.4. Feladat: Forgáshenger ellipszis metszete 142
18.1.5. Feladat: Forgáskúp hiperbola metszete 144
18.2. Horizontális axonometria 145

Témakörök