Halmazelmélet

Előszó

Ez a jegyzet az ELTE IV. éves matematikus hallgatói számára tartott előadások alapján készült és a Halmazelmélet és Matematikai Logika előadás első - halmazelméleti - részének anyagát tartalmazza. Ennek megfelelően egyrészt feltételezi, hogy a jegyzet használói a halmaz intuitiv fogalmát, a halmazmüveleteket, sőt a megszámlálható halmazokra vonatkozó egyszerű tételeket is jól ismerik már.
A halmazelmélet az 1800-as évek végén - 1870 körül - jött létre Georg Cantor munkássága nyomán. Ő gondolt először arra, hogy halmazokat önmagukban vizsgáljon, elvonatkoztatva elemeik konkrét tulajdonságaitól. Első ötlete az volt, hogy végtelen halmazok között is értelmezhető az "ugyanakkkora", a "kisebb", a "nagyobb" fogalma. Ennek a zseniális gondolatnak a következetes keresztülvitelével a matematika egy uj ágát hozta létre és ő maga be is bizonyitotta ennek a területnek a legtöbb alaptételét. Felfedezése forradalmasitotta a matematikát, és ma már a matematika minden modern ága halmazelméleti fogalmakra épül. Éppen ezért halmazelméleti szemléletünk Cantor óta sokat változott, többek között abban, hogy domináns benne a minél szabatosabb megalapozás igénye. Bármilyen csábító is ez, nem vállalkozhatunk arra a matematikatörténeti feladatra, hogy a halmazelméletet először teljes egészében Cantor ideái alapján mutassuk be és leírjuk az egyes fogalmak történeti fejlődését. Arról próbálunk képet adni, hogyan látja a halmazelméletet ma egy gyakorló matematikus. Vissza