Az optimalizáláselmélet alapjai

Tartalom

ELŐSZÓ 9
BEVEZETÉS 13
A) EGYENSÚLYI MODELLEK 15
Egytermékes egyensúlyi modell 15
Többtermékes egyensúlyi modell 17
B) OPTIMALIZÁLÓ MODELLEK 17
Nyereségmaximalizálás 18
Költségminimalizálás 19
1. FEJEZET: A VALÓS SZÁMOK 21
1.1. A matematika alapvető fogalmai 21
1.2. A valós számok axiomatikus tárgyalása 29
1.3. Teljesség, számosság, sűrűség 38
1.4. Feladatok 53
2. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 55
2.1. Függvények globális tulajdonságai 57
2.2. Függvények ábrázolása, szemléltetése; a függvény grafikonja 59
2.3. Az alapfüggvények elemi vizsgálata 68
2.4. Feladatok 85
3. FEJEZET: TÖBBVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 91
3.1. A k-dimenziós euklideszi tér 91
3.2. Többváltozós függvények 101
3.3. Feltételes szélsőérték-feladatok megoldása elemi módszerekkel 102
3.4. Feladatok 118
4. FEJEZET: A HATÁRÁTMENET MŰVELET SOROZATOKRA 123
4.1. Vektorsorozat torlódási pontja 126
4.2. Vektorsorozat határértéke 128
4.3. Konvergencia és korlátosság 133
4.4. Határátmenet művelet és relációőrzés 134
4.5. Nullsorozatok 137
4.6. A határátmenet művelet és az algebrai műveletek 139
4.7. A határátmenet művelet, mint lineáris operátor 142
4.8. Számsorozatok 143
4.9. Vektorsorozat koordinátasorozatai 152
4.10. A Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel 154
4.11. A Cauchy-féle belső konvergencia kritérium 156
4.12. Feladatok 157
5. FEJEZET: A HATÁRÁTMENET MŰVELET FÜGGVÉNYEKRE 171
5.1. A sorozatokon értelmezett határátmenet művelet
és az elemi függvényműveletek felcserélhetősége 172
5.2. Függvények folytonossága 174
5.3. Függvények határértéke 175
5.4. A határátmenet művelet algebrai szabályai 179
5.5. A határátmenet művelet relációőrző tulajdonsága 181
5.6. További határérték-fogalmak 184
5.7. Féloldali folytonosság 188
5.7. Feladatok 188
6. FEJEZET: DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 195
A) EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 195
6.1. A különbségi hányados 195
6.2. A differenciálhányados 198
6.3. Differenciálhatóság és folytonosság kapcsolata 201
6.4. Lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele 202
6.5. Differenciálási szabályok 204
B) TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 207
6.6. Iránymenti deriválás 208
6.7. Parciális differenciálás 210
6.8. Fréchet-féle differenciálhatóság 214
6.9. Másodrendű parciális deriváltak 218
6.10. A láncszabály 220
6.11. Feladatok 221
7. FEJEZET: A FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT ANALITIKUS MÓDSZEREI 227
7.1. Folytonos függvények általános tulajdonságai 227
7.2. Differenciálható függvények általános tulajdonságai 230
7.3. Lokális szélsőérték létezésének első- és másodrendű elégséges feltételei 232
7.4. Egyváltozós konvex (konkáv) függvények 237
első- és másodrendű jellemzése 237
7.5. Határérték meghatározása a L'Hospitál szabály segítségével 240
7.6. Analitikus függvényvizsgálat 243
7.7. Feladatok 246
8. FEJEZET: A MÁTRIXALGEBRA ALAPJAI JSBp 253
8.1. A mátrix fogalma 253
8.2. Mátrixok szorzása 257
8.3. Kvadratikus formák 261
8.4. Kvadratikus mátrix sajátvektorai és sajátértékei 263
8.5. Kvadratikus mátrix inverze 266
8.6. Kvadratikus mátrixok determinánsa 268
8.7. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer-szabállyal 272
8.8. Feladatok 276
9. FEJEZET: BÁZISOK ÉS KOORDINÁTA-RENDSZEREK 277
9.1. Vektorrendszerekre vonatkozó fogalmak és tételek 277
9.2. Altér bázisa és dimenziója 281
9.3. Feladatok 286
10. FEJEZET: ÁLTALÁNOS ÉS ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ 289
10.1. Az általános bázistranszformáció 289
10.2. Lineáris egyenletrendszer megoldása 292
10.3. Szimmetrikus mátrix főtengely-transzformációja 295
10.4. Az elemi bázistranszformáció 298
10.5. Példák az elemi bázistranszformáció alkalmazására 300
10.6. Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval 308
10.7. Feladatok 313
11. FEJEZET: AZ ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ TOVÁBBI ALKALMAZÁSAI 315
11.1. Mátrix inverzének meghatározása redukált pivot algoritmussal 315
11.2. Determináns kiszámítása 319
11.3. Szimmetrikus mátrix inerciájának meghatározása 320
11.4. Többlépéses elemi bázistranszformáció 324
11.5. Speciális lineáris programozási feladatok megoldása 333
11.6. Feladatok 342
12. FEJEZET: FELTÉTEL NÉLKÜLI SZÉLSŐÉRTÉK-FELADATOK MEGOLDÁSA 345
12.1. Szélsőérték létezésének szükséges, illetve elégséges feltételei
többváltozós függvényekre 345
12.2. Egy feltétel nélküli szélsőérték-feladat: a függvényillesztés problémája 351
12.3. Feladatok 357
13. FEJEZET: EGYENLŐSÉGFELTÉTELES SZÉLSŐÉRTÉK-FELADATOK 361
13.1. Módszer az ismeretlenek számának csökkentésére 361
13.2. A Lagrange-féle multiplikátoros módszer 364
13.3. Feladatok 372
14. FEJEZET: EGYENLŐTLENSÉGFELTÉTELES SZÉLSŐÉRTÉK-FELADATOK 379
14.1. A Karush-Kuhn-Tucker-tétel 3 87
14.2. Regularitás lineáris feltételek esetén 390
14.3. A KKT-feltételek speciális feladatosztályokra 391
14.5. Másodrendű elégséges optimalitási feltételek 393
NÉV- ÉS TÁRGYMUTATÓ 399

Témakörök