Näherungsmethoden

Fülszöveg

Für eine Vielzahl mathematischer Probleme werden In den allgemeinen Mathematik-Lehrbüchern Lösungsvorschriften angegeben, die das Problem als schlechthin „gelöst" erscheinen lassen. Rechnet man jedoch nach solch einer Vorschrift, so geschieht es nicht selten, daß man auf Schwierigkeiten rein numerischer Art stößt. So können beispielsweise beim Subtrahierengroße relative Fehler entstehen, wenn sich Minuend und Subtrahend nur wenig unterscheiden, wie dies etwa bei quadratischen Gleichungen mit sehr kleinem Absolutglied der Fall ist. Beim Lösen linearer Gleichungssysteme mit vielen Unbekannten nach dem Eliminationsverfahren können sich wegen der sehr großen Anzahl der Operationen Rundungsfehler so häufen, daß das Ergebnis stark von der genauen Lösung abweicht. Im vorliegenden Buch wird gezeigt, wie verschiedene, in der Praxis recht häufig auftretende Probleme mit der erforderlichen Genauigkeit zu lösen sind. Dabei wird besonders bei Gleichungen und Giei-chungssystemen ein iteratives... Tovább

Fülszöveg

Für eine Vielzahl mathematischer Probleme werden In den allgemeinen Mathematik-Lehrbüchern Lösungsvorschriften angegeben, die das Problem als schlechthin „gelöst" erscheinen lassen. Rechnet man jedoch nach solch einer Vorschrift, so geschieht es nicht selten, daß man auf Schwierigkeiten rein numerischer Art stößt. So können beispielsweise beim Subtrahierengroße relative Fehler entstehen, wenn sich Minuend und Subtrahend nur wenig unterscheiden, wie dies etwa bei quadratischen Gleichungen mit sehr kleinem Absolutglied der Fall ist. Beim Lösen linearer Gleichungssysteme mit vielen Unbekannten nach dem Eliminationsverfahren können sich wegen der sehr großen Anzahl der Operationen Rundungsfehler so häufen, daß das Ergebnis stark von der genauen Lösung abweicht. Im vorliegenden Buch wird gezeigt, wie verschiedene, in der Praxis recht häufig auftretende Probleme mit der erforderlichen Genauigkeit zu lösen sind. Dabei wird besonders bei Gleichungen und Giei-chungssystemen ein iteratives Vorgehen bevorzugt.
Ein zweiter Schwerpunkt der numerischen Mathematik ist die Frage nach dem Verhältnis von Aufwand und Effekt. So läßt sich beispielsweise das Interpolationsproblem prinzipiell durch einen Ansatz für die Interpolationsfunktion und Einsetzen der bekannten Wertepaare auf ein Gleichungssystem zurückführen und lösen. Dieses Vorgehen ist jedoch bei einer größeren Stützstellenzahl mit einem nicht mehr vertretbaren Aufwand verbunden. Die Benutzung von Differenzen und divi-
dierten Differenzen, wie es in diesem Buch gezeigt wird, bringt hier wesentliche Einsparung an Arbeit mit sich. Ähnlich liegen die Verhältnisse, wenn eine nur tabellarisch vorliegendeFunk-tion differenziert oder integriert werden soll. Schließlich sind viele mathematische Probleme in geschlossener Form überhaupt nicht lösbar. So gibt es bekanntlich für Gleichungen vom 5. Grade an keine geschlossene Lösungsvorschrift. Auch transzendente Gleichungen lassen sich nur in Ausnahmefällen durch formelmäßiges Umstellen auflösen. Für derartige Fälle werden im vorliegenden Buch Näherungsverfahren angegeben, mit deren Hilfe man beliebig gute Näherungswerte für die gesuchten Lösungen ermitteln kann. Auch die näherungsweise Berechnung von Integralen, die keine elementare Stammfunktion haben, wird behandelt. Besonders erwähnt seien hier Probleme, die sich — wie beispielsweise Gleichungen 3. und U. Grades — geschlossen lösen lassen, für deren Lösung man aber dennoch aus den verschiedensten Gründen Näherungsverfahren bevorzugt. Möge dieses Buch dazu beitragen, zu zeigen, daß Näherungsverfahren keinesfalls als minderwertig oder zweitrangig anzusehen sind, sondern durchaus gleichberechtigt neben den geschlossenen (sog. „exakten") Verfahren stehen, diesen in mancherlei Beziehung sogar überlegen sind, ihnen an Exaktheit nicht nachstehen und sich mit ihnen bei vielen Problemkreisen ergänzen.


Vissza