Operátormodulusok és féligegyszerű gyűrűk

Előszó

Az operátorcsoportok elmélete ma már igen fontos és erős fejlődésben levő fejezete a modern algebrának. Ennek oka elsősorban abban rejlik, hogy az operátorcsoport fogalma igen szerencsés közül általánositása a két legfontosabb algebrai struktura, a csoport és a gyűrű fogalmának. Az operátorcsoportokra vonatkozó problémák vizsgálata tehát bizonyos esetekben csoportelméleti, illetve gyűrűelméleti eredményekhez vezet. Az operátorcsoport fogalmát tetszőleges operátortartomány mellett W. Krull vezette be 1925-ben, majd E. Noether nagyjelentőségű dolgozatában részletesen kifejtette az operátorcsoportokra vonatkozó alapvető tényeket. Noether e dolgozatában találkozunk először az operátormodulus mai értelemben vett fogalmával is, amely az operátorcsoport igen általános fogalmának talán legfontosabb speciális esete. Operátormoduluson nevezetesen olyan additiv Abel-féle csoportot értünk, amelynek operátortartománya tetszőleges gyűrű. Minthogy ilyen módon az operátormodulus fogalma magában foglalja egyfelől a (közönség) Abel-féle csoportokat, másfelől az összes gyűrűket, érthető, hogy az operátormodulusok vizsgálata rendkívül termékenynek bizonyult mind a csoportelmélet, mind a gyűrűelmélet szempontjából. A kutatók kezdettől fogva felismerték azokat a nagyarányú lehetőségeket, amelyeket az operátormodulusok vizsgálata jelent a modern algebra számára. E vizsgálatok az utolsó 30 év alatt egyre fokozódó lendületet vettek, és nagymértékben ösztönzi a kutatókat ilyen vonatkozásban az az általános program is, hogy a közönséges Abel-féle csoportok esetére nyert eredményeket operátormodulusokra általánosítsák. (Ilyen vonatkozású jellemző vizságlatokat tartalmaznak például a 25, 5 dolgozatok.) Ezt a törekvést mutatja a világviszonylatban is kiemelkedő szovjet csoportelméleti iskola munkásssága is. Pl. A. G. Kuros "Csoportelméleté"-nek legújabb kiadásában nagy teret biztosít az operátormodulusok elméletének tárgyalására, és Kuros egyik legkiválóbb tanítványa I. Ja. Kulikov legutóbbi két nagy dolgozatában 15, 16 messzemenően általánosította bizonyos operátormodulusokra a tetszőleges számosságú Abel-féle p-csoportok elméletét.
A jelen dolgozat egyik főeredménye is a közönséges Abel-féle csoportok elméletének egy osztályát leíró strukturatételek általánosítását jelenti operátormodulusok esetére. A közönséges Abel-féle csoportok elméletében gyakran szerepelnek és fontos szerepet töltenek be az elemi Abel-féle csoportok. Vissza