Matematika III.

Tartalom

TRIGONOMETRIA
Szinusz- és koszinusztétel 3
Szinusztétel hegyesszögű háromszögben 3
lg sin, lg cos, lg tg táblázat 5
Koszinusztétel hegyesszögű háromszögben 8
A szinusz- és koszinusztétel tompaszögű háromszögben és a szögfüggvények
általánosítása 11
Szinusztétel tompaszögű háromszögben 11
Koszinusztétel tompaszögű háromszögben 11
A szögfüggvények fogalmának kiterjesztése tompaszögekre 12
A szögfüggvények általános értelmezése 13
Az egyöntetű szinusz- és koszinusztétel 16
A szögek meghatározása a szögfüggvényekből nem egyértelmű 17
A háromszög területének kiszámítása két oldalból és a közbezárt szögből 21
A háromszög körül írt kör sugara és az alapadatok közötti kapcsolat 22
Összetett feladatok megoldása 23
Összefoglalás 28
Összegezési tételek 29
Két szög összegének szinusza és koszinusza 30
Két szög különbségének szinusza és koszinusza 32
Egy szög kétszeresének, illetőleg felének szinusza és koszinusza 33
A tangensre vonatkozó megfelelő összefüggések 34
Lehetőség a szögfüggvények értékének kiszámítására 36
Az összefüggések alkalmazásai 37
Összefoglalás 49
A logaritmusok előnyösebb alkalmazását biztosító összefüggések 49
Trigonometriai összegek és különbségek szorzattá alakítása 49
A tangenstétel 50
Szorzattá alakítás a hátrametszés megoldásában 53
A háromszög szögeinek kiszámítása a három oldalból 54
A szög és szögfüggvények fogalmának kiterjesztése 56
Forgásszögek 56
Forgásszögek szinusza és koszinusza 57
Forgásszögek meghatározása egy ismert szögfüggvényből 61
Forgásszögek tangensének értelmezése 64
Forgásszög tangensének kiszámítása 65
Forgásszög meghatározása tangenséből 66
Összefoglalás 68
A szögfüggvények vizsgálata és ábrázolása 69
A szinuszhullám 69
Alkalmazások a fizikában és a technikában 71
A koszinuszfüggvény képe 72
A tangensfüggvény képe 73
Az ívmérték 74
A szög ívmértéke 74
Az ív hosszának kiszámítása a szög ívmértéke segítségével és viszont 76
A fokok átszámítása ívmértékké és viszont 76
A szinuszfüggvény ábrázolása ívmértékek alapján 77
SOROZATOK
Számtani sorozat 79
A számtani sorozat n-edik tagja 81
A számtani sorozat összege 83
Összefoglalás 93
Mértani sorozat 94
A mértani sorozat n-edik tagja 96
A mértani sorozat összege 98
Összefoglalás 118
Sorozatokról általában 119
Az első n egész szám négyzetének összege 121
21 többszöröseiről 123
Teljes indukció 123
Egy számsorozat összege 125
Az első n egész szám köbének összege 128
Összefoglalás 131
ANALITIKUS (KOORDINÁTA) GEOMETRIA
Az egyenes 136
Az egyenes iránytangense 136
Adott ponton átmenő adott irányú egyenes 137
Párhuzamos és merőleges egyenesek 138
Két ponton átmenő egyenes 140
Két adott ponton átmenő egyenes iránytényezője 40
A háromszögek magasságai 141
Egy ponton átmenő egyenes függvénye 142
Az egyenes egyenlete 143
Az egyenes és az elsőfokú kétismeretlenes egyenlet 144
A háromszög oldalfelező merőlegesei is egy ponton mennek keresztül 148
A felezőpont koordinátái 149
Két egyenes metszéspontja 151
Három egyenes egy ponton halad keresztül 152
A háromszög súlyvonalai 155
A súlypont koordinátái 157
Pont távolsága egyenestől 160
Az Euler-féle egyenes 163
Elemi geometriai bizonyítás 165
Mértani helyek felkutatása koordinata-geometriai úton 166
Két pont távolsága 171
összefoglalás 175
A kör 176
A kör egyenlege 176
Apollonius köre 177
Mikor állít elő a kétismeretlenes másodfokú egyenlet kört? 179
A Feuerbach-féle kör 183
Három adott pont meghatározta kör 185
A Feuerbach-körre vonatkozó tétel elemi bizonyítása 186
Érintőnégyszög 188
Körhöz adott pontban rajzolt érintő 189
Adott pontból körhöz rajzolt érintő 191
Két kör közös húregyenesének egyenlete 194
Két érintkező kör közös érintőjének egyenlete 196
Hatvány és hatvány vonal 197
A hatvány vonal merőleges a centrálisra 199
Három kör hatványpontja 200
Összefoglalás 201
A parabola 202
A parabola néhány jellemző tulajdonsága 203
Az érintő általános értelmezése 203
A parabola mint mértani hely 209
A parabola fonalas rajzolása 210
Szerkesztés körzővel és vonalzóval -210
A parabola csúcsegyenlete 211
Minden parabola hasonló egymáshoz 213
A parabolikus tükör 215
A parabola érintője adott pontban 216
Egy mértani helyre vezető feladat 223
Paraméteres előállítás 224
A másodfokú függvény képe 22o
Egy mértani hely meghatározása paraméter segítségével 229
Parabola ferde helyzetben 231
Parabola három adott ponton át 233
összefoglalás 236
Az ellipszis és a hiperbola 237
Az ellipszis definíciója 237
Ellipszis rajzolása zsinór segítségével 239
A hiperbola definíciója 239
Az ellipszis és a hiperbola közös egyenlete 242
Kör összenyomásával keletkező ellipszis 251
Hiperbola más helyzetben 252
A hiperbola aszimptótái 255
A hiperbola adott pontjában húzható érintő 259
Az ellipszis adott pontjában húzható érintő 260
Paraméteres előállítás 264
Párhuzamos eltolás 265
Hiperbolák metszéspontjai 266
Egy könnyen félreismerhető mértani hely 267
A parabola, ellipszis és hiperbola egyöntetű értelmezése 268
A kúpszeletek összefoglalása 269
Kúpszeletek 269
A kúpszeletek és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet 270
Összefoglalás 275

Témakörök