Lineáris algebra

Előszó

Ez a jegyzet a Budapesti Közgazdaságtudományi Egyetem hallgatóinak második féléves lineáris algebrai tanulmányait szeretné segíteni. A jegyzet az "alapszintű" matematika oktatásban résztvevő hallgatók lineáris algebra tanagyagát tartalmazza. A lineáris algebra eredetileg lineáris egyenletrendszerek megoldásával foglalkozott, ezért először csak a mátrixaritmetika és determinánselmélet tartozott tárgyához. Döntő hatással volt fejlődésére, az a felismerés, hogy a mindennapi értelemben vett tér geometriájának általánosításaként kapott vektorterek elmélete a lineáris egyenletrendszerek problémakörét más megvilágításba helyezi. Ebben a helyzetben a vektorterek elméletének elemeit tárgyaljuk, és a mátrixaritmetika ennek a célnak a szolgálatába van állítva. Úgy érezzük, hogy így könnyebben megmutatkozik mind a tételek mélyebb értelme és az azok közötti kapcsolat. Ez a felépítés lehetővé teszi, hogy az itt nyert eredményeket mind a matematikán belül, mind más tudományterületeken is alkalmazzák.
Szólunk néhány szót a jegyzet szerkezetéről és jelölésmódjáról. Először a későbbiekben sokat használt mátrixaritmetika elemeit gyűjtöttük össze, majd bemutatjuk az absztrakt vektortereket, és legfontosabb tulajdonságaikkal jellemezzük azokat. Ezután rátérünk a lineáris leképezések és transzformációk tárgyalására. Ezek reprezentációja teremti meg a kapcsolatot a mátrixaritmetikával. Ezt követően már eleget tudunk ahhoz, hogy a lineáris egyenletrendszerek megoldását elegánsan kezelhessük. Ezután az euklideszi terek tárgyalása következik, majd a lineáris transzformációk sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározására adunk módszert. Végül a többváltozós függvények lokális szélsőértékeinek meghatározásakor elengedhetetlen kvadratikus alakok és azok definitségének vizsgálata következik. Az utolsó hatodik fejezet a többváltozós függvénytan elemeinek lineáris algebrai eszközökkel való tárgyalását tartalmazza.
A bevezetett fogalmak többségét számozott definíciókban adjuk meg, néha azonban a gördülékenység érdekében csak dőltbetűs szedéssel hívjuk fel rá a figyelmet. A tételek és állítások tripla számozása megmutatja, hogy mely fejezet, melyik pontjának hányadik tételéről vagy állításáról van szó.
A Faktorterek című szakasz ** jelzéssel van ellátva, ami azt jelzi, hogy ismerete nélkül is érthető a további anyag, de elolvasása hozzájárulhat a vektorterek elméletének jobb megértéséhez. A jegyzet első öt fejezetét Puskás Csaba, míg az utolsó hatodik fejezetet Szabó Imre és Tallos Péter írták.
Itt hívjuk fel a figyelmet arra, hogy az egy-egy pontot lezáró feladatok és gyakorlatok nem pótolhatják a feladatgyűjteményt. Ebből a szempontból ez a jegyzet meglehetősen hiányos.
Tudjuk, hogy minden igyekezetünk ellenére még mindig maradtak hibák, elírások, bár a kollégáink nagyon sokat felfedeztek és azokat természetesen kijavítottuk.
A jegyzetet szedési munkái a TEX kiadványszerkesztő szoftver LATEX változatával, az ábrák pedig a PICTEX szoftverrel készültek. Vissza