Számelmélet

Tartalom

Bevezetés 9
1. Számelméleti alapfogalmak 15
1.1. Oszthatóság 15
1.2. Maradékos osztás 20
1.3. Legnagyobb közös osztó 25
1.4. Felbonthatatlan szám és prímszám 33
1.5. A számelmélet alaptétele 37
1.6. Kanonikus alak 42
2. Kongruenciák 54
2.1. Elemi tulajdonságok 54
2.2. Maradékosztályok és maradékrendszerek 60
2.3. Az Euler-féle p-függvény 67
2.4. Euler-Fermat-tétel 71
2.5. Lineáris kongruenciák 74
2.6. Szimultán kongruenciarendszerek 81
2.7. Wilson-tétel 93
2.8. Műveletek maradékosztályokkal 96
3. Magasabb fokú kongruenciák 102
3.1. Megoldásszám és redukció 102
3.2. Rend 106
3.3. Primitív gyök 110
3.4. Diszkrét logaritmus (index) 119
3.5. Binom kongruenciák 121
3.6. Chevalley-tétel, Kőnig-Rados-tétel 126
3.7. Prímhatvány modulusú kongruenciák 132
4. Legendre- és Jacobi-szimbólum 137
4.1. Másodfokú kongruenciák 137
4.2. Kvadratikus reciprocitás 141
4.3. Jacobi-szimbólum 147
5. Prímszámok 152
5.1. Klasszikus problémák 152
5.2. Fermat- és Mersenne-prímek 158
5.3. Prímszámok számtani sorozatokban 168
5.4. Becslések 7r(rr)-re 172
5.5. Hézag a szomszédos prímek között 180
5.6. A prímek reciprokösszege 187
5.7. Prímtesztek 199
5.8. Titkosírás 214
6. Számelméleti függvények 220
6.1. Multiplikativitás, additivitás 220
6.2. Nevezetes függvények 226
6.3. Tökéletes számok 234
6.4. A d(n) függvény vizsgálata 238
6.5. Összegzési és megfordítási függvény 248
6.6. Konvolúció 253
6.7. Átlagérték 260
6.8. Additív függvények karakterizációja 275
7. Diofantikus egyenletek 280
7.1. Lineáris diofantikus egyenlet 281
7.2. Pitagoraszi számhármasok 286
7.3. Néhány elemi módszer 289
7.4. Gauss-egészek 295
7.5. Számok előállítása négyzetösszegként 305
7.6. A Waring-problémakör 314
7.7. A Fermat-sejtés 320
7.8. Pell-egyenlet 334
7.9. Partíciók 340
8. Diofantikus approximáció 349
8.1. Irracionális szám approximációja 349
8.2. Minkowski-tétel 358
8.3. Lánctörtek 365
8.4. A törtrészek eloszlása 372
9. Algebrai és transzcendens számok 377
9.1. Algebrai szám, transzcendens szám 377
9.2. Minimálpolinom és fokszám 381
9.3. Műveletek algebrai számokkal 384
9.4. Algebrai számok approximációja 390
9.5. Az e transzcendens szám 397
9.6. Algebrai egész 403
10. Algebrai számtestek 408
10.1. Testbővítés 408
10.2. Egyszerű algebrai bővítés 412
10.3. Másodfokú bővítések 419
10.4. Norma 434
10.5. Egész bázis 439
11. Ideálok 448
11.1. Ideál 448
11.2. Elemi számelméleti kapcsolatok 4545
11.3. Alaptételes gyűrű, főideálgyűrű, euklideszi gyűrű 460
11.4. Ideálok oszthatósága 468
11.5. Dedekind-gyűrű 477
11.6. Osztályszám 490
12. Kombinatorikus számelmélet 495
12.1. Csupa különböző összeg 495
12.2. Sidon-sorozatok 505
12.3. Összeghalmazok 517
12.4. Schur tétele 529
12.5. Fedőrendszerek 535
12.6. Additív komplementumok 540
Eredmények és útmutatások 550
1. Számelméleti alapfogalmak 550
2. Kongruenciák 562
3. Magasabb fokú kongruenciák 577
4. Legendre- és Jacobi-szimbólum 589
5. Prímszámok 594
6. Számelméleti függvények 609
7. Diofantikus egyenletek 631
8. Diofantikus approximáció 654
9. Algebrai és transzcendens számok 659
10. Algebrai számtestek 666
11. Ideálok 672
12. Kombinatorikus számelmélet 679
Megoldások 690
1. Számelméleti alapfogalmak 690
2. Kongruenciák 699
3. Magasabb fokú kongruenciák 708
4. Legendre- és Jacobi-szimbólum 711
5. Prímszámok 713
6. Számelméleti függvények 723
7. Diofantikus egyenletek 738
8. Diofantikus approximáció 752
9. Algebrai és transzcendens számok 755
10. Algebrai számtestek 758
11. Ideálok 768
12. Kombinatorikus számelmélet 782
Történeti névtár 786
Táblázatok 792
Prímszámok (2-3907) 792
Prímtényezős felbontás 794
Mersenne-számok 795
Fermat-számok 796
Tárgymutató 797-810

Témakörök