Geometria/Fejezetek a térmértanból/Geometriai feladatgyűjtemény

Tartalom

GEOMETRIA
Előszó .................. ............. . . . .................. 3
BEVEZETÉS
A GEOMETRIAI ALAKZAT MINT PONTHALMAZ
1. §. Alapfogalmak és definíciók a geometriában ............. 5
2. §. Axiómák és tételek .....................................................6
3. §. A geometriai alakzat mint ponthalmaz .................8
4. §. Alakzatok közös része. Példák. Kúpszeletek............................17
5. §. Alakzatok egyesítése....................................................................27
6. §. Azonosítás..............................................28
GEOMETRIAI SZERKESZTÉSEK
7. §. Mértani helyek ........................................
8. §. A mértani helyek módszerének szerkesztési feladatok megoldására való alkalmazása ............................. 48
9. §. A geometriai szerkesztési feladat és megoldása........... 52
10. §. Szerkesztések körző és vonalzó felhasználásával..........54
11. §. A szerkesztési feladatok megoldásának egyéb különböző eszközei.......... 62
12. §. Példák körző és vonalzó segítségével meg nem oldható feladatokra ............. 72
& ALAKZATOK TRANSZFORMÁCIÓJA
13- Egy alakzatnak egy másik alakzatba való leképezése........... 88
14. §. Alakzatok kölcsönösen egyértelmű leképezése ........... 93
15. §. Alakzatok folytonos leképezése .....................96
16. A sík és a tér önmagába való transzformálásának fogalma......... 100
§. A sztereografikus projekció............................ 104
18. §. A centrális projekció fogalma .........................111
19. §. A transzformációs csoport fogalma......................113
§. A csoport általános fogalma...........................115
ELEMI GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK
PÁRHUZAMOS ELTOLÁS
21. §. A párhuzamos egyenesek .............................122
22. §. A párhuzamos eltolások a síkon .......................125
23. §. A sík adott egyenessel párhuzamos eltolásainak csoportja........130
24. §. A párhuzamos eltolások csoportja a síkon ,............132
25. §. Invariánsok és alakzatok invariáns tulajdonságai........139
26. §. A párhuzamos eltolás módszerének alkalmazása a geometriai szerkesztésekben...141
27. §. A párhuzamos eltolások csoportja a térben ............143
AZ ELFORGATÁS
28. §. A sík önmagába transzformálása adott pont körüli elforgatás útján ...........147
29. §. A sík mozgáscsoportja................................150
30. §. Az elforgatás módszerének alkalmazása a geometriai szerkesztésekben.........154
31. §. A tér tengely körüli elforgatása .......................157
32. §. A forgásfelületek ...............................161
33. §. A tér pont körüli forgatása ...........................166
34. §. A tér mozgáscsoportja..............................168
35. §. A szabályos gúla forgáscsoportja.......................173
A SZIMMETRIA
37. §. Tengelyes szimmetria a síkon .........................177
38. §. Középpontos szimmetria a síkon..................182
..39. §. A tükrözés módszerének felhasználása szerkesztési feladatok megoldásában ..183
40. §. A tér síkra vonatkoztatott szimmetriája................185
41. §. A tér középpontos szimmetriája.................187
42. Alakzatok szimmetriája a síkon ....................... 188
43. §. Alakzatok szimmetriája a térben ......................193
A HASONLÓSÁG
44. §. A homotétia. (A sík középpontos hasonlósági transzformációja) .................197
45. 8. Körök hasonlósága...................................201
46 s. A közös középpontú hasonlósági transzformációk csoportja 203
47 A síkalakzatok hasonlóságának általános esete........ 205
A hasonlósági transzformáció módszerének alkalmazása szerkesztési feladatok megoldására..... 210
AZ INVERZIÓ
49. §. Inverzió a síkon .....................................213
50. §. Inverzió a térben ...................................224
51. §. Az inverzió alkalmazása a geometriai szerkesztésekben... 225
52. §. Apollonius feladata...................................230
HOSSZÚSÁG-, TERÜLET- ÉS TÉRFOGATMÉRÉS
A HOSSZÚSÁG-, TERÜLET- ÉS TÉRFOGATMÉRÉS ÁLTALÁNOS FELADATA
53. §. Egyenesszakaszok összehasonlítása ..................... 234
54. §. A szakaszmérés általános feladata ....................239
55. §: A szakaszhossz összefüggése a mértékegység megválasztásával ........ 249
56. §. Területek összehasonlítása a síkon............................................253
57. §. Sokszögek átalakítása .......................................................261
58. §. Az egyszerű sokszögek .területmérési feladata......................266
59. §. A síkalakzat területének fogalma............................................273
60. §. A térfogatmérés feladatának fogalma......................................276
A GEOMETRIA ALAPJAINAK ELEMEI ÉS LOBACSEVSZKIJ GEOMETRIÁJA
EUKLIDES »ELEMEI«
Euklides »Elemeinek« áttekintése ...................... 279
Az Elemek történelmi jelentősége. Euklides művének érdemei és hibái ..............287
LOBACSEVSZKIJ GEOMETRIÁJA
A háromszög szögösszegére vonatkozó tételek..................293
A párhuzamossági axióma különböző alakjai az euklidesi geometriában ...................299
65. §. Lobacsevszkij axiómája ................................305
66. 1 Lobacsevszkij geometriájának elemi tényei..............3306
67. §. Az egyenesek kölcsönös helyzete a Lobacsevszkij-síkon. 309
68. §. A területmérés fogalma ........................... 321
A GEOMETRIA AXIOMATIKUS FELÉPÍTÉSE
69. §. A geometria alapvető tárgyai és a tárgyak közti alapvető viszonylatok..........323
70. §. Első axiómacsoport : összetartozási vagy illeszkedési axiómák ..............326
71. §. Második axiómacsoport : rendezési axiómák ............328
72. §. Harmadik axiómacsoport: egybevágósági axiómák.......330
73. §. Negyedik axiómacsoport: a párhuzamosok axiómája.....333
74. §. Ötödik axiómacsoport: folytonossági axiómák............334
75. §. Az axiómák egyenértékűségének fogalma ...............335
76. §. A mozgás axiómái ...................................337
A GEOMETRIAI RENDSZEREK MEGVALÓSÍTÁSÁNAK GONDOLATA
77. §. Az euklidesi síkgeometria különböző modelljei ..........338
78. §. Az euklidesi térgeometria Fjodorovtól származó modellje 343
79. §. A Lobacsevszkij-geometria modelljei az euklidesi síkon . 346
BEFEJEZÉS
80. §. Az axiómarendszerrel szemben támasztott követelmények.......... 354
Irodalom ..................................... 357
GEOMETRIAI FELADATGYŰJTEMÉNY
Előszó ............................3
FELADATOK
PLANIMETRIA
Szakaszok és szögek ................................... 5
Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között .5
Szakaszokra vonatkozó egyenlőtlenségek ................... 6
Merőleges és ferde egyenesek ................................... 6
Párhuzamos egyenesek............................... 7
A háromszög szögeinek összege .................... 7
A paralelogramma és a trapéz .......................... 8
A kör............................................ 9
A háromszög nevezetes vonalai és pontjai...................... 12
Szerkesztési feladatok ................................ 13
Hasonló alakzatok ...................................... 18
Szerkesztési feladatok .......................................... 19
Arányos távolságok a körben ..................................... 21
Szerkesztési feladatok ................................. 22
Területátalakítások.............................. 23
Geometriai tételek bizonyítása területszámítás segítségével ........................... 24
Numerikus összefüggések a háromszögekben és a négyszögekben ................. 25
A szabályos sokszögek ................................................. 28
A kör kerülete és területe ................................................ 28
A kör geometriájának elemei ........................ 29
SZTEREOMETRIA
Bizonyítási és szerkesztési feladatok
Egyenesek, síkok és testszögletek .................................. 34
A kocka ...................................... 35
A paralelepipedon ........................................ 36
A szabályos tetraéder ................................ 36
A tetraéder (háromoldalú gúla) .................... 37
A szabályos oktaéder .................................... 38
A szabályos dodekaéder és ikozaéder ............................ 38
Feladatok a tér összenyomásával (merőleges affinitásával) és ferdítésével (elációjával) kapcsolatban ... 38
A henger és a kúp ......................... 39
A gömb ............................................... 41
Feladatok síkmértani problémák térmértani módszerekkel való megoldására ............ 43
Számítási feladatok
Merőleges és ferde egyenesek ......................... 43
Párhuzamos egyenesek és síkok. A síkra bocsátott merőlegesek...................... 44
A háromélű testszöglet (triéder) ......................... 45
A kocka ......................................... 45
A szabályos tetraéder ................................................ 47
Hasáb jellegű testek (prizmatoidok).............................. 47
A szabályos poliéderek ..................................... 48
A henger ...................................................... 48
A kúp .............................................. 49
A gömb ............................................. 49
Nehezebb bizonyítási feladatok
Néhány feladat a konvex poliéderek elméletével kapcsolatban ...................... 50
Feladatok a tér egybevágó és párhuzamos helyzetű konvex poliéderekre (paraleloéderekre) bontásával kapcsolatban................................... 52
Affin, hasonlósági és projektív transzformációk
Az affin transzformációk ........................... 55
A hasonlósági transzformáció ......................... 59
A projektív transzformációk ........................... 59
A projektív transzformációk alkalmazása a légi fényképezésnél ....... 60
MEGOLDÁSOK
PLANIMETRIA
Szakaszok és szögek ............................. 62
Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között . 63
Szakaszokra vonatkozó egyenlőtlenségek ............... 66
Merőleges és ferde egyenesek ........................... 69
Párhuzamos egyenesek...................................... 71
A háromszög szögeinek összege ............................ 72
A paralelogramma és a trapéz ........................... 77
A kör ........................................ 81
A háromszög nevezetes vonalai és pontjai................ 95
Szerkesztési feladatok ............................... 105
Hasonló alakzatok ............................... 128
Szerkesztési feladatok ..................................... 140
Arányos távolságok a körben ..................................... 146
Szerkesztési feladatok ................................. 153
Területátalakítások ............................... 165
Geometriai tételek bizonyítása területszámítással ... 174
Numerikus összefüggések a háromszögekben és a négyszögekben .................. 183
A szabályos sokszögek ........................... 210
A kör kerülete és területe......................... 219
A kör geometriájának elemei ........................... 222
SZTEREOMETRIA
Bizonyítási és szerkesztési jeladatok
Érvénesek, síkok és testszögletek ....................... 246
A kocka............................. ................251
A paralelepipedon ................................... 253
A szabályos tetraéder ................................. 254
A tetraéder (háromoldalú gúla) .......................... 256
A szabályos oktaéder .................................... 261
A szabályos dodekaéder és ikozaéder............. . 262
Feladatok a tér összenyomásával (merőleges affinitásával) és ferdítésével (elációjával) kapcsolatban 266
A henger és a kúp ............................... 267
A gömb .................................. 272
Feladatok síkmértani problémák térmértani módszerekkel való megoldására ....... 281
Számítási feladatok
Merőleges és ferde egyenesek ......................... 284
Párhuzamos egyenesek és síkok. A síkra bocsátott merőlegesek ............... 285
A háromélű testszöglet (triéder) . ................................... 291
A kocka ............................................... 292
A szabályos tetraéder............................. 303
Hasáb jellegű testek (prizmatoidok) ................ 308
A szabályos poliéderek .............................. 311
A henger ............................................. 319
A kúp ................................................ 322
A gömb .......................................... 325
Nehezebb bizonyítási feladatok
Néhány feladat a konvex poliéderek elméletével kapcsolatban .................. 329
A paraleloéderek ................................ 338
Affin, hasonlósági és projektív leképezések
Az affin leképezések .............................. 347
A hasonlósági leképezés :............................ 354
A projektív leképezések ........................................ 356
A projektív leképezés alkalmazása a légi fényképezésre ........ 359

Témakörök