Matematika I.

Tartalom

A. Bevezetés: Szám és függvény 3
1.§ A valós számokról 3
1. A racionális számok 3
2. Az irracionális számok. A valós számok 8
3. Egyenlőtlenségekkel való számolás 9
4. Abszolút érték és előjel 10
2.§ Változó és függvény 12
1. Változó, intervallum 12
2. Függvény 13
3. Függvények megadása görbével, függvény skálával, vagy táblázattal 14
4. Inverz függvény 20
5. Páros függvény, páratlan függvény 21
B. Az elemi függvények 25
3.§ Racionális egész függvények 25
1. A lineáris függvény 25
2. A másodfokú függvény 28
3. Összefoglaló áttekintés a kúpszeletekről 37
4. A racionális egész függvény zérus helyei 38
5. Az n-edfoku parabola menete egy zérus helyének környezetében és a végtelenben 43
6. A Horner-féle elrendezés 50
7. A Lagrange-féle interpolációs polinom 58
8. Newton-féle interpolációs polinom 60
9. Lineáris interpoláció hibájának becsléséről 63
4.§ Racionális tört függvények. Algebrai függvények 68
1. Zérushelyek, pólusok és megszüntethető szingularitások 68
2. A racionális tört függvény viselkedése a végtelenben 74
3. Algebrai függvények 79
5.§ Exponenciális és logaritmus függvény 31
1. Az exponenciális függvény 81
2. A logaritmus függvény 86
3. A logaritmikus számlálóléc (logarléc) 88
4. Logaritmuspapír és használata 92
6.§ A trigonometrikus és arcus függvények 94
1. A szög ívmértéke 94
2. A trigonometrikus függvények 95
3. A trigonometrikus függvények közti alapösszefüggések összefoglalása 98
4. Az arcus függvények 101
5. Trigonometrikus függvények alkalmazása rezgési jelenségek leírására 103
C. A határérték és a folytonosság 107
7.§ A határérték fogalma. Függvény folytonossága 107
1. A független változó határértéke 107
2. A függvény határértéke 108
3. Határértékekre vonatkozó tételek 113
4. Néhány fontosabb határérték 115
5. Folytonosság 125
D. Differenciálszámítás 137
8.§ Derivált, érintő, sebesség 137
1. Differenciahányados és derivált 137
2. A differenciahányados és a derivált geometriai jelentése 140
3. A derivált fizikai jelentése 141
9.§ Általános differenciálási szabályok 145
Elemi függvények deriváltja 145
1. Általános szabályok 145
2. Racionális egész függvény deriváltja 145
3. sin x és cos x deriváltja 146
4. ax és ex deriváltja I47
5. Szorzatfüggvény deriváltja 148
6. Tört deriváltja 148
7. Inverz függvény deriváltja 149
8. Összetett függvény differenciálása (láncszabály) 151
9. Logaritmikus differenciálás 152
10. Implicit függvények deriválása 153
10.§ A hiperbolikus függvények és inverzeik 156
1. A hiperbolikus függvények 156
2. A hiperbolikus függvények inverzei, az ún. area függvények 160
3. Alkalmazás 162
11.§ Differenciálhatóság és folytonosság. Jobb- és baloldali derivált. Differenciál. Érintési paraméterek 163
1. Differenciálhatóság és folytonosság 164
2. Jobb-és baloldali derivált 165
3. Differenciál 166
4. Érintési paraméterek . 171
12. 6 Grafikus és numerikus differenciálás 175
1. Grafikus differenciálás 175
2. Numerikus differenciálás 176
13.§ Középértéktétel. Bernoulli-l'Hospital-szabály 181
1. Középértéktétel 181
2. Bernoulli-l' Hospital szabály 185
14.§ Magasabbrendű deriváltak és differenciálok. Függvényvizsgálat 190
1. Magasabbrendű deriváltak és differenciálok 190
2. Függvényvizsgálat 196
3. Görbület 297
15.§ Egyenletek közelítő megoldása 213
1. Egyenletek közelítő megoldása húr-módszerrel (regula falsi) 213
2. Newton módszere (érintő módszer) 217
3. Iteráció 221
16.§ Görbék megadása paraméteres egyenletrendszerrel és polárkoordinátás alakban 225
1. Paraméteres megadás 225
2. Paraméteresen megadott függvény deriváltja 232
3. Polárkoordinátákban megadott görbék 236
4. Inverzió 240
5. A polárkoordinátákkal megadott függvény deriváltjának geometriai jelentése 242
E. Integrálszámítás 245
17.§ Görbe alatti terület. Határozott integrál 245
1. Bevezetés 245
2. A területmérés problémája 246
3. A határozott integrál 247
4. Az integrálási határok felcserélése 257
5. Határozott integrálok összegezés! tétele 258
6. Határozott integrál és görbe alatti terület 260
7. Az integrálszámítás középértéktétele 262
8. Az integrálszámítás általánosított középértéktétele 265
18.§ A határozatlan integrál 271
1. A határozott integrál, mint a felső határ függvénye 271
2. Határozatlan integrál 273
3. A határozott integrál kiszámítása a primitív függvény segítségével 275
19.§ Integrálási szabályok 277
1. Alapintegrálok 277
2. Összeg (különbség) és állandóval szorzott függvény integrálása 282
3. Új változó bevezetése: integrálás helyettesítéssel 284
4. Határozott integrál kiszámítása helyettesítéssel 289
5. Parciális integrálás 290
6. Másodfokú polinom néhány függvényének integrálása 295
7. Racionális tört függvények részlettörtes alakja 292
8. Racionális függvények integrálása 304
9. Trigonometrikus függvények racionális függvényeinek integrálása 309
10. Exponenciális függvény racionális függvényeinek integrálása 312
11. A formális integrálszámítás határai 314
20.§ Az integrálszámítás alkalmazásairól 318
1. Ismeretlen függvény meghatározása adott differenciáljából 318
2. Görbe alatti terület paraméteres megadás esetén 323
3. Szektorterület kiszámítása 326
4. Térfogatszámítás a Cavalieri-féle elv alapján 328
5. Ívhossz-számítás 334
6. Forgásfelület felszíne 337
7. Elsőrendű (statikai) nyomaték. Tömegközéppont (súlypont) 340
8. Másodrendű (tehetetlenségi) nyomaték 347
21.§ Kvadraturával megoldható differenciálegyenletek néhány típusáról 352
1. Differenciálegyenletekről általában 352
2. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek 354
3. Változó transzformációval szétválasztható változójúra visszavezethető differenciálegyenletek 364
4. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet 373
5. Hiányos másodrendű differenciálegyenletek 381
22.§ Grafikus és numerikus integrálás 400
1. Grafikus integrálás 400
2. Numerikus integrálás 403
23.§ A határozott integrál általánosítása: improprius integrálok 409
1. Végtelen határú (nem korlátos tartományra kiterjesztett) integrál 409
2. Nem korlátos függvény integrálja 410
3. Improprius integrálokra vonatkozó konvergenciakritériumok 412
4. Cauchy-féle főérték 417
5. A gamma függvényről 419
F. Végtelen sorok 423
24.§ Numerikus sorok 423
1. A végtelen geometriai sor 423
2. Konvergens és divergens sor 427
3. Pozitív tagú sorok 429
4. Váltakozó előjelű sorok 437
5. Abszolút konvergens sorok 441
25.§ Függvénysorok 444
1. Hatványsorok 444
2. Taylor-sor 449
3. Binomiális sor 463
4. Integrálás sorbafejtéssel 467

Témakörök