Vektorszámítás

Tartalom

A) Vektoralgebra 11
I. Skaláris mennyiségek 11
II. Vektormennyiségek 12
1. Bevezetés 12
2. Műveletek vektorokkal 13
a) Vektorok összege 13
b) Vektor szorzása skalárral 16
c) Vektorok kivonása 17
3. Vektorok által alkotott szög 18
4. Vektorok lineáris kombinációja 20
5. Vektorok szorzása vektorral 23
a) Skaláris szorzat 23
A skaláris szorzat tulajdonságai 25
b) Vektoriális szorzat 27
A vektorszorzat néhány tulajdonsága 28
c) Vegyes hármas szorzat 30
Ciklikus permutációk 32
III. Vektorok és vektorműveletek koordinátás leírása 33
1. Koordinátarendszer 33
a) Derékszögű koordinátarendszer 33
b) Vektorok megadása a koordináták segítségével 34
c) Vektorok és reprezentációk 36
2. Műveletek koordinátákkal megadott vektorokkal 37
a) Összeadás 38
b) Szorzás skalárral 39
3. Az összeadás néhány szabályáról 39
4. Skalárszorzat komponensekkel kifejezve 42
5. Vektoriális szorzat koordinátákkal kifejezve 43
6. Vegyesszorzat komponensekkel kifejezve 46
7. A vektoriális hármas szorzat 49
8. Vektorok felbontása merőleges komponensekre 51
9. A vektorfogalom általánosítása 52
IV. A sík koordinátageometriája 54
1. A helyzetvektor és a görbe egyenletének fogalma 54
2. Az egyenes egyenlete 56
a) Paraméteres egyenlet 56
b) Implicit alak 57
c) Általános egyenlet 57
d) Normálegyenlet 58
e) Tengelymetszetes alak 60
f) Explicit egyenlet 60
3. A kör egyenlete 61
4. Az ellipszis és a hiperbola egyenlete 63
5. A parabola egyenlete 68
6. Az ellipszis és hiperbola érintőjének egyenlete 69
V. Síkbeli polárkoordináták 71
1. Fogalmak, definíciók 71
2. Az egyenes polárkoordinátás egyenlete 73
3. Az ellipszis hiperbola és parabola polárkoordinátás egyenlete 74
VI. A tér koordinátageometriája 77
1. Az egyenes és a sík egyenlete 77
2. A kúp egyenlete és a kúp síkmetszetei 79
3. Térelemek távolsága 84
a) Két pont távolsága 85
b) Pont és egyenes távolsága 85
c) Pont és sík távolsága 87
d) Két kitérő egyenes távolsága 89
e) Alkalmazások 91
VII. Forgatások 93
1. Forgatás két dimenzióban 93
2. Háromdimenziós forgatások 96
3. A forgatási operátor komponenseinek explicit előállítása 100
4. Két forgatás egymásutánja 102
Az ortogonalitási relációk és a transzponált mátrix 104
VIII. Lineáris egyenletrendszerek 105
1. Lineáris egyenletrendszerek tömör felírása 105
2. A determináns fogalma 111
Páros és páratlan permutációk 111
3. A determináns tulajdonságai 112
A transzponált mátrix determinánsa 114
4. A mátrixszorzat determinánsa 116
5. A determináns kiszámítása. Aldeterminánsok 117
6. Az adjungált mátrix és a reciprok mátrix 123
7. A reciprok mátrix és a Cramer szabály 125
8. Elfajuló lineáris egyenletrendszerek 127
9. A determináns kiszámításának gyakorlati módszerei 131
10. Példa lineáris egyenletrendszer megoldására 135
IX. Mátrixszámítás 142
1. Fogalmak, definíciók 142
"Sor" és "oszlop" vektorok 142
2. Műveletek mátrixokkal 144
a) Összeadás 144
b) Kivonás 145
c) Szorzás skalárral 145
d) Mátrix szorzása mátrixszal 145
Két vektor skalárszorzata 147
Vektor és mátrix szorzata 147
Két vektor diadikus szorzata 148
4. A transzpozíció 149
a) A transzpozíció néhány alkalmazása 149
Szimmetrikus és antiszimmetrikus mátrixok 150
b) Ortogonális mátrixok 151
X. Operátorok 153
1. Operátorok és tenzorok 153
2. Tenzor elforgatása 155
4. Koordináta transzformáció 156
5. Néhány speciális tenzor 158
a) Az egységtenzor 158
b) A konstans operátor 159
c) Diagonális operátor 159
d) A szimmetrikus operátor 160
e) Az antiszimmetrikus operátor 160
f) Diadikus és vektoriális szorzattal értelmezett tenzor 161
6. Sajátvektorok 162
7. Szimmetrikus operátor sajátértékei 164
8. A szimmetrikus mátrix sajátvektorainak egzisztenciája 167
9. Az antiszimmetrikus tenzor sajátértékei 169
10. Invariáns mennyiségek 169
a) Skalár invariáns ok 169
b) Vektorinvariáns 170
11. Operátor hatványai és a hatvány sajátértékei 172
XI. Alkalmazások 173
1. Másodrendű görbék 173
a) Homogén kvadratikus forma 173
b) Inhomogén kvadratikus alak 175
2. Másodrendű felületek 178
3. Mintafeladat a másodrendű felület kanonikus alakjának meghatározására 186
4. Merev test tehetetlenségi nyomatéka 189
5. Impulzusmomentum I93
6. Főtengelyek I93
B) Differenciálszámítás 195
I. A differenciálhányados fogalma és néhány speciális függvény deriváltja 196
Közvetett függvény differenciálhányadosa 199
II. Vektor-skalár függvények differenciálhányadosa 201
1. Néhány alapfogalom 201
a) Vektorsorozat határértéke 201
Tenzorsorozat határértékek 202
b) Vektor-skalár függvény határértéke 202
c) Vektor-skalár függvény folytonossága 202
2. Vektor-skalár függvény deriváltja és a derivált tulajdonságai 203
3. Mátrix deriváltja 206
Merev test mozgása 208
A mozgás kinetikai leírása 209
Mozgásegyenletek 212
Az Euler egyenlet alkalmazása szabad merev test esetén 213
Összefoglalás 216
III. Többváltozós függvények differenciálása 216
1. A parciális differenciálhányados 217
2. Vegyes parciális deriváltak 218
3. A teljes derivált 220
IV. Skalár vektor függvény, a mező fogalma 223
1. Iránymenti derivált és gradiens 223
2. A gradiens vektor és a függvény megváltozása 227
3. Alkalmazás. Az elektrosztatikus potenciál 229
4. Rotáció 230
5. Alkalmazás 232
a) Forgó test pontjainak sebességi mezeje 232
6. A divergencia 235
7. Alkalmazás. Ponttöltés elektrosztatikus mezeje 237
8. A derivált tenzor 238
9. Differenciálási szabályok 240
10. A nabla szimbolika 243
11. Másodrendű differenciáloperátorok 249
12. Alkalmazások 252
C) Ferde és görbevonalú koordinátarendszerek 257
I. Ferdevonalú koordinátarendszerek 257
Bevezetés 257
2. Műveletek ferdevonalú koordinátákkal megadott vektorokkal 259
a) Összeadás 259
b) Skaláris szorzat 260
3. A metrikus tenzor 261
4. A vektoriális szorzat kifejezése ferdevonalú koordinátákkal 262
5. Kovariáns és kontravariáns reprezentációk 264
6. Átszámítás a kovariáns és kontravariáns reprezentáció között 266
7. Szorzatok különböző reprezentációkban 268
a) Skalárszorzat 268
b) Vektoriális szorzat 269
8. Koordináta transzformációk 270
9. A forgatási operátorok ferdevonalú reprezentációkban 273
II. Invariáns mennyiségek 276
1. A tenzor spurja 276
2. Háromindexes mátrixszal reprezentálható tenzorok 278
3. Az E^3 tenzor 280
4. A vektoriális szorzat 281
III. Görbe vonalú koordinátarendszerek 283
1. A görbevonalú koordinátarendszer értelmezése 283
2. Skaláris mező 284
3. A vektormező. Kovariáns és kontravariáns koordináták 285
4. A skaláris szorzat 287
5. A skalármező gradiense 288
6. Különböző pontokban megadott vektorok összehasonlítása, Párhuzamos eltolás 289
7. A Christoffel-féle szimbólumok 291
8. A deriválttenzor görbevonalú koordinátákban 295
9. A rotáció 296
10. Divergencia 297
11. Alkalmazás (Polárkoordinátarendszerre) 300
D) Integrálszámítás 303
I. Függvénytranszformáció 303
1. Többváltozós skalárfüggvény transzformációja. A Jacobi determináns 303
2. Inverz transzformáció 308
3. Vektorfüggvények transzformációja 311
Integrálszámítás 313
Bevezetés 313
II. Egyváltozós függvények integrálja 313
1. A primitív függvény 313
2. A határozatlan integrál tulajdonságai, kiszámítása találgatással 316
3. Az integrál meghatározásának néhány módszere 317
4. A határozott integrál 322
5. A határozott integrál közelítése szummával 326
6. Integrálok közelítő kiszámítása 329
7. A helyettesítés és a határozott integrál kapcsolata 331
8. Egy érdekes becslés 332
9. Sorfejtés 334
10. Néhány függvénysor meghatározása 337
11. Síkgörbe ívhosszának meghatározása 338
12. Néhány görbe ívhosszának kiszámítása 341
III. Többváltozós függvények integrálása 344
1. Az integrálás és differenciálás sorrendjének felcserélése 344
2. Kettős integrálok 348
3. Kettős integrál, mint összeg határértéke 349
a) Terület 349
b) Tömegmeghatározás 351
c) A kettős integrál tulajdonságai 354
4. Téglalap alakú tartományra vett kettős integrál 355
5. Összefüggés a kettős integrál két definíciója között 357
6. Tetszőleges tartományra kiterjesztett kettős integrál kiszámítása 358
7. Példák kettős integrálok kiszámítására 362
8. Hármas, vagy térfogati integrálok 366
IV. Vonal és felületi integrálok 371
1. Vonalintegrálok 371
2. Felszín kiszámítása kettős integrál segítségével 375
3. Példák a felszínszámításra 381
a) Sík felszínének kiszámítása 381
b) Határozzuk meg a gömb felszínét 381
4. Felületi integrálok 333
V. A Stokes és Gauss tétel 385
1. Pseudo polárkoordináták 385
2. Vonalintegrálok pseudo polárkoordinátákban 388
3. Felületi és térfogati integrálok pseudo polárkoordinátákban 390
4. A Stokes tétel 394
5. Példa a Stokes tétel alkalmazására 398
6. A Gauss tétel 399
7. Néhány példa a Gauss-tétel alkalmazására 494
a) A kontinuitási egyenlet 404
b) Az elektrosztatika Gauss tétele 406
c) Kontinuitási egyenlet az elektromos áramokra 407
d) Az eltolódási áram 408
8. A Green tételek 409
VI. A potenciálegyenlet megoldása 410
1. A Laplace-Poisson egyenlet 410
Az egyenlet megoldása 411
A megoldás egyértelműsége 417
2. Mező előállítása forrásaiból 419
3. Elektromágneses potenciálok 422

Függelék I 425
I. Területmeghatározás 425
A téglalap területe 427
A háromszög területe 429
Zárt görbék területmértéke 430
Példa a terület meghatározására 431
Ívhossz 435
A körív hossza 437
Térfogatszámítás 438
Függelék II 439
Komplex számok 439
1. A számfogalom kiterjesztésének módszere 439
2. Az imaginárius egység 441
3. Komplex számok összege és szorzata 441
A komplex konjugált 442
4. Komplex számok osztása 442
5. Gyökvonás 444
6. Az algebra alaptétele 445
7. A komplex számsík 445
8. A komplex számok trigonometrikus alakja 446
9. Műveletek trigonometrikus alakban adott komplex számokkal 447
a) Szorzás 447
b) Hatványozás 448
c) Gyökvonás 448
d) Magasabb gyök 449
10. Alkalmazás 451
a) A szekuláris egyenlet 451
b) Az ortogonális mátrix sajátértékei és sajátvektorai 452
c) Rezgések 454
Függelék m 456
I. Exponenciális és más függvények 456
1. Egy általános megjegyzés 456
2. Gyökvonás 457
3. Az exponenciális függvény 460
4. Az E(x) függvény tulajdonságai 464
II. Néhány függvény értelmezésének kiterjesztése komplex változóra 466
1. Exponenciális függvény komplex változó esetén 466
2. Trigonometrikus függvények 467
3. Komplex logaritmus 469

Témakörök