Valós analízis I-II.

Előszó

Jogos kívánsága valamely könyv olvasójának, hogy mindjárt az első lapokon tájékozódni tudjon a könyv tárgya felől, megismerje a szerző szándékát, amelyre a könyv megírásakor törekedett, a könyv beosztását, felépítését, röviden szólva azt, hogy mit várhat a könyvtől. Többnyire nem könnyű az olvasónak ezt a jogos igényét kielégíteni, mégpedig azért nem, mert egy könyv tárgyát pontosan körülhatárolni rendszerint csak azoknak a fogalmaknak a segítségével lehet, amelyeknek ismertetése éppen a könyv egyik feladata; annak a számára, aki ezeket még nem ismeri, legfeljebb hozzávetőleges képet lehet adni arról a tárgykörről, amelynek részletes kifejtése a könyvben található. Szükségszerű tehát, hogy az ilyen előzetes körvonalazás során nem lehetnek az olvasónak túlságosan magas igényei, s meg kell elégednie azzal, ha korábbi ismeretei között legalább nagy vonásokban el tudja helyezni a kézbe vett könyvtől várható új ismereteket. Az imént vázolt nehézségek maradéktalanul fellépnek ezzel a könyvvel kapcsolatban is. így mindjárt a címben foglalt két szó jelentését sem sikerül elöljáróban pontosan körülírni; valamilyen képet adni róla mégis megkísérlünk a következő lapokon. A címben szereplő analízis szó görög eredetű, jelentése „elemzés"; ezt a jelentését meglehetősen híven megőrizte a kémiában, ahol máig is a vegyületek összetevő alkotórészeinek, ezek arányainak, kapcsolódásuk módjának meghatározását értik rajta. A matematikában viszont ez a szó mintegy háromszáz éve egy nagy és fontos tudományág megjelölésére használatos, de ennek tárgyát és jellegét a szó eredeti jelentése nemigen juttatja kifejezésre. így első feladatunk némi képet adni arról, mivel is foglalkozik a matematikának analízis elnevezésű ága. A mindennapi életben gyakran előfordul, hogy valamely mennyiség számszerű értékét nem tudjuk vagy nem akarjuk pontosan közölni, helyette közelítő értéket adunk meg: az előadáson mintegy 150-en vannak jelen, a torony közel 60 méter magas, délelőtt körülbelül két óra hosszat sétáltam. Az ilyen közelítő számadatok azért nyújtanak számos esetben jól használható információt, mert ésszerű megállapodással hallgatólag beléjük értünk olyan korlátokat is, amelyek közé esik a szóban forgó mennyiség pontos értéke. Aki azt hallja, hogy az előadáson mintegy 150-en vannak jelen, bizonyos lehet abban, hogy a jelenlevők száma 100-nál több, de 200-nál kevesebb; a közel 60 méter magas torony bizonyára legalább 50 méternyi, de nem magasabb 70 méternél; sétám hossza feltehetően 90 perc és 150 perc közé esett. Világos, hogy sokkal gazdagabbá, és ezért jobban használhatóvá válik a közlés tartalma, ha a közelítő érték helyett ténylegesen ilyen korlátokat adunk meg. Az a kijelentés, hogy az 1 m sugarú körlap területe körülbelül 3 m2, összehasonlíthatatlanul kevesebbet és bizonytalanabbat közöl, mint ha megállapítjuk, hogy a kérdéses terület 3 m2 és 3,2 m2 közé esik. Vissza